2. Может ли в классе из 30 учеников оказаться так, что у каждого ровно 3 друга? А если ровно 5 друзей? Обоснуйте.

Рассмотрим граф: ученики — вершины, а знакомство или дружба — рёбра.

3 друга: сумма степеней вершин равна \(30\cdot3=90\). Она чётная, поэтому условие лемме о рукопожатиях не противоречит. Такой граф существует, например можно расположить учеников по кругу и соединить каждого с двумя соседями, а затем разбить оставшиеся вершины на пары и добавить по одному дополнительному ребру каждому ученику.

5 друзей: сумма степеней равна \(30\cdot5=150\), это также чётное число. Такой граф тоже существует: соединить каждого ученика с двумя соседями слева и двумя соседями справа, а затем каждому добавить ещё одного партнёра из 15 пар.

Ответ: да, в обоих случаях.