2. К окружности с центром О проведена касательная MN (M — точка касания). Найдите отрезок MN, если ON = 14 см и ∠NOM = 30°.

Анализ:

• Задача из раздела "Окружность и круг".
• Дана касательная MN к окружности в точке M. ON = 14 см, ∠NOM = 30°.
• Нужно найти длину отрезка MN.
• По свойству касательной, радиус OM перпендикулярен касательной MN в точке касания M. Следовательно, ∠OMN = 90°.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMN (∠OMN = 90°).
2. В этом треугольнике ON — гипотенуза, OM — катет, прилежащий к углу ∠NOM, а MN — катет, противолежащий углу ∠NOM.
3. Используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
• \[ \cos(\angle NOM) = \frac{OM}{ON} \]
• \[ \sin(\angle NOM) = \frac{MN}{ON} \]
4. Выразим MN: \[ MN = ON \cdot \sin(\angle NOM) \].
5. Подставим известные значения: \[ MN = 14 \text{ см} \cdot \sin(30^{\circ}) \].
6. Знаем, что \[ \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \].
7. Вычисляем длину MN: \[ MN = 14 \text{ см} \cdot \frac{1}{2} = 7 \text{ см} \].

Ответ: 7 см