2. Хорды AC и BD пересекаются в точке M. Найдите \(∠BDC\), если \(∠ABD = 24^\(\circ\), \(\u\)2220AMD = 76^\(\circ\).

Решение:

Дано:

• \(∠ABD = 24^\circ\)
• \(∠AMD = 76^\circ\)

Найти:

• \(∠BDC\)

Ход решения:

1. Рассмотрим треугольник \( △ AMD \). Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\).
2. Угол \(∠MAD\) является смежным с углом \(∠BAC\). Угол \(∠BAC\) и \(∠BDC\) опираются на одну дугу \(BC\), значит \(∠BAC = ∠BDC\).
3. Угол \(∠AMD\) = \(76^\circ\).
4. В \( ∠MAD \): \(∠MDA + ∠MAD + ∠AMD = 180^\circ\).
5. Угол \(∠MDA\) — это угол \(∠BDA\), который также равен \(∠BCA\).
6. Рассмотрим \(∠BAC\) как \(∠BAD\) - \(∠CAD\).
7. Угол \(∠CAD\) и \(∠CBD\) опираются на одну дугу \(CD\).
8. Угол \(∠BAD\) — это \(∠ABD\) = \(24^\circ\).
9. Угол \(∠ADC\) и \(∠ABC\) опираются на одну дугу \(AC\).
10. Угол \(∠ADB\) и \(∠ACB\) опираются на одну дугу \(AB\).
11. Угол \(∠BCD\) и \(∠BAD\) опираются на одну дугу \(BD\).
12. Угол \(∠CBD\) и \(∠CAD\) опираются на одну дугу \(CD\).
13. В \( ∠ ABM \) = \(24^\circ\).
14. Угол \(∠BAC\) = \(∠BDC\) (опираются на дугу \(BC\)).
15. Угол \(∠CAD\) = \(∠CBD\) (опираются на дугу \(CD\)).
16. Угол \(∠ADB\) = \(∠ACB\) (опираются на дугу \(AB\)).
17. Угол \(∠ABC\) = \(∠ADC\) (опираются на дугу \(AC\)).
18. В \( ∠ AMD \), угол \(∠MAD = 180^\circ - 90^\circ - 76^\circ = 14^\circ\). <-- Это предположение, что \( ∠ ADM = 90^\circ \) Неверно.
19. В \( ∠ ABM \) угол \(∠BMA = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ\).
20. В \( ∠ ABM \): \(∠BAM + ∠ABM + ∠BMA = 180^\circ\).
21. \(∠BAM + 24^\circ + 104^\circ = 180^\circ\).
22. \(∠BAM = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ\).
23. \(∠BAC = 52^\circ\).
24. Так как \(∠BAC\) и \(∠BDC\) опираются на одну дугу \(BC\), то \(∠BDC = ∠BAC\).
25. \(∠BDC = 52^\circ\).

Ответ: 52°.