2. \(\frac{8}{x^2-4} + \frac{13}{x+2} = \frac{x-4}{2-x}\)

Решение:

1. Заметим, что \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \) и \( 2-x = -(x-2) \).
2. Приведём к общему знаменателю \( (x-2)(x+2) \).
3. Уравнение примет вид: \[ \frac{8}{(x-2)(x+2)} + \frac{13(x-2)}{(x-2)(x+2)} = -\frac{x-4}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} \]
4. Упростим: \[ \frac{8 + 13x - 26}{(x-2)(x+2)} = -\frac{(x-4)(x+2)}{(x-2)(x+2)} \]
5. Раскроем скобки в числителях: \[ \frac{13x - 18}{(x-2)(x+2)} = -\frac{x^2 + 2x - 4x - 8}{(x-2)(x+2)} \]
6. Упростим второй числитель: \[ \frac{13x - 18}{(x-2)(x+2)} = -\frac{x^2 - 2x - 8}{(x-2)(x+2)} \]
7. Перенесём все члены в одну сторону: \[ \frac{13x - 18 + (x^2 - 2x - 8)}{(x-2)(x+2)} = 0 \]
8. Упростим числитель: \[ \frac{x^2 + 11x - 26}{(x-2)(x+2)} = 0 \]
9. Приравняем числитель к нулю: \( x^2 + 11x - 26 = 0 \).
10. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-26) = 121 + 104 = 225 \).
11. Корни: \[ x_1 = \frac{-11 + \sqrt{225}}{2} = \frac{-11+15}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-11 - \sqrt{225}}{2} = \frac{-11-15}{2} = -13 \]
12. Проверим ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
13. Корень \( x = 2 \) не подходит.

Ответ: x = -13.