2. Докажите, что если в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, равна высоте, опущенной на боковую сторону, то этот треугольник — равносторонний.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, поэтому AB = AC. Высота к основанию BC равна h₁, а высота, опущенная на боковую сторону AB, равна h₂. По условию h₁ = h₂.

Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

△ABC = 1/2 · BC · h₁;

△ABC = 1/2 · AB · h₂.

Так как h₁ = h₂, получаем:

1/2 · BC · h₁ = 1/2 · AB · h₁.

Поскольку h₁ ≠ 0, то BC = AB. Но AB = AC, следовательно, AB = BC = AC.

Ответ: все стороны треугольника равны, поэтому он равносторонний.