2. Для доказательства равенства треугольников АВС и EDF (рис. 5.21) достаточно доказать, что:

Решение:

Для доказательства равенства треугольников по двум углам и стороне между ними (признак УСУ - угол, сторона, угол) необходимо, чтобы совпадали два угла и сторона, лежащая между ними. Согласно рисунку 5.21:

• Вариант а) ∠A = ∠D и б) ∠B = ∠D не являются достаточными, так как не указана сторона между этими углами.
• Вариант в) ∠A = ∠E не подходит, так как это равенство углов, но не гарантирует равенство стороны между ними.
• Необходим признак УСУ. Если предположить, что данная сторона - это сторона AC в первом треугольнике и сторона ED во втором, то для признака УСУ должны быть равны два угла и сторона между ними. Если же мы рассматриваем равенство по двум углам и стороне, прилежащей к ним, то необходимо равенство углов A и E, а также стороны AC и ED (или AB и ED).

Согласно рисунку 5.21, показано равенство углов A и E. Для доказательства равенства треугольников по признаку УСУ (угол-сторона-угол) необходима равная сторона между этими углами. На рисунке показано, что сторона AC = ED. Следовательно, достаточно доказать, что ∠A = ∠E и AC = ED. Однако, в вариантах ответа нет такого сочетания. Если же используется признак УУС (угол-угол-сторона), то должны быть равны два угла и любая из прилежащих сторон. Если предположить, что равны углы A и E, и прилежащие стороны AB и ED, то это будет признак УСУ. Если равны углы A и E, и сторона AC и ED, то это тоже УСУ. Если равны углы B и D, и сторона BC и ED, то это также УСУ. Если равны углы A и E, и сторона AB и EF, то это будет признак УУС. Но на рисунке показано равенство углов A и E, и равенство сторон AC и ED. То есть, имеем равенство по двум сторонам и углу между ними, если угол C = углу D. Или по двум углам и прилежащей стороне AC=ED, и углу A=E. Если предположить, что равны углы A и E, и сторона AC равна стороне ED, то это не является признаком равенства.

Посмотрим на варианты: а) ∠A = ∠D, б) ∠B = ∠D, в) ∠A = ∠E. Если мы возьмем вариант в) ∠A = ∠E, и, допустим, что AC = ED (что видно из рисунка, хотя это не указано в вариантах), то это будет признак СУС (сторона-угол-сторона). Если же мы возьмем признак УУС, то нужны два равных угла и одна сторона, причем сторона может быть любой. Так как на рисунке явно показано, что ∠A = ∠E, то этот вариант наиболее вероятен.

Ответ: в) ∠A = ∠E.