2. Даны числа z1 и z2 в тригонометрической форме записи: z1 = √2 (cos(π/3) + i sin(π/3)), z2 = √3 (cos(π/6) + i sin(π/6)). Выполнить действия: a) z1*z2; б) z1^4; г) ³√z2.

Решение:

Даны комплексные числа в тригонометрической форме: \( z_1 = \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3} \right) \) и \( z_2 = \sqrt{3} \left( \cos\frac{\pi}{6} + i \sin\frac{\pi}{6} \right) \).

а) Найдём произведение \( z_1 \cdot z_2 \):

Для умножения комплексных чисел в тригонометрической форме нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

\[ z_1 \cdot z_2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \left( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) \right) \]

\[ = \sqrt{6} \left( \cos\left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{2\pi + \pi}{6}\right) \right) = \sqrt{6} \left( \cos\frac{3\pi}{6} + i \sin\frac{3\pi}{6} \right) \]

\[ = \sqrt{6} \left( \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} \right) = \sqrt{6} (0 + i \cdot 1) = i\cdot\sqrt{6} \]

б) Найдём \( z_1^4 \):

Для возведения комплексного числа в степень используется формула Муавра:

\[ z_1^4 = (\sqrt{2})^4 \left( \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{3}\right) \right) \]

\[ = 4 \left( \cos\frac{4\pi}{3} + i \sin\frac{4\pi}{3} \right) \]

\[ = 4 \left( -\frac{1}{2} + i \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -2 - 2i\sqrt{3} \]

г) Найдём \( \sqrt[3]{z_2} \):

Для извлечения кубического корня из \( z_2 \) будем иметь три корня. Общая формула для корней \( n \)-й степени:

\[ \sqrt[n]{r(\cos\theta + i\sin\theta)} = \sqrt[n]{r} \left( \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right), \quad k = 0, 1, 2, ..., n-1 \]

В нашем случае \( n=3 \), \( r = \sqrt{3} \), \( \theta = \frac{\pi}{6} \).

Первый корень (k=0):

\[ \sqrt[3]{\sqrt{3}} \left( \cos\frac{\pi/6 + 2\pi(0)}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 2\pi(0)}{3} \right) = 3^{1/6} \left( \cos\frac{\pi}{18} + i\sin\frac{\pi}{18} \right) \]

Второй корень (k=1):

\[ \sqrt[3]{\sqrt{3}} \left( \cos\frac{\pi/6 + 2\pi(1)}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 2\pi(1)}{3} \right) = 3^{1/6} \left( \cos\frac{13\pi}{18} + i\sin\frac{13\pi}{18} \right) \]

Третий корень (k=2):

\[ \sqrt[3]{\sqrt{3}} \left( \cos\frac{\pi/6 + 2\pi(2)}{3} + i\sin\frac{\pi/6 + 2\pi(2)}{3} \right) = 3^{1/6} \left( \cos\frac{25\pi}{18} + i\sin\frac{25\pi}{18} \right) \]

Ответ: а) \( \sqrt{6} \left( \cos\frac{\pi}{2} + i \sin\frac{\pi}{2} \right) = i\cdot\sqrt{6} \); б) \( 4 \left( \cos\frac{4\pi}{3} + i \sin\frac{4\pi}{3} \right) = -2 - 2i\sqrt{3} \); г) Три корня: \( 3^{1/6} \left( \cos\frac{\pi}{18} + i\sin\frac{\pi}{18} \right) \), \( 3^{1/6} \left( \cos\frac{13\pi}{18} + i\sin\frac{13\pi}{18} \right) \), \( 3^{1/6} \left( \cos\frac{25\pi}{18} + i\sin\frac{25\pi}{18} \right) \).