1. Даны числа z1 и z2 в алгебраической форме записи: z1 = 5 + 3i, z2 = -4 + 5i. Выполнить действия: а) z1 + z2; б) z1 - z2; в) z1*z2; г) z1/z2.

Решение:

Даны комплексные числа в алгебраической форме: \( z_1 = 5 + 3i \) и \( z_2 = -4 + 5i \).

а) Найдём сумму \( z_1 + z_2 \):

\[ z_1 + z_2 = (5 + 3i) + (-4 + 5i) = (5 - 4) + (3 + 5)i = 1 + 8i \]

б) Найдём разность \( z_1 - z_2 \):

\[ z_1 - z_2 = (5 + 3i) - (-4 + 5i) = 5 + 3i + 4 - 5i = (5 + 4) + (3 - 5)i = 9 - 2i \]

в) Найдём произведение \( z_1 \cdot z_2 \):

\[ z_1 \cdot z_2 = (5 + 3i) \cdot (-4 + 5i) = 5(-4) + 5(5i) + 3i(-4) + 3i(5i) = -20 + 25i - 12i + 15i^2 \]

Поскольку \( i^2 = -1 \):

\[ -20 + 25i - 12i + 15(-1) = -20 + 13i - 15 = (-20 - 15) + 13i = -35 + 13i \]

г) Найдём частное \( \frac{z_1}{z_2} \):

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{5 + 3i}{-4 + 5i} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю число \( -4 - 5i \):

\[ \frac{(5 + 3i)(-4 - 5i)}{(-4 + 5i)(-4 - 5i)} = \frac{5(-4) + 5(-5i) + 3i(-4) + 3i(-5i)}{(-4)^2 - (5i)^2} = \frac{-20 - 25i - 12i - 15i^2}{16 - 25i^2} \]

Так как \( i^2 = -1 \):

\[ \frac{-20 - 37i - 15(-1)}{16 - 25(-1)} = \frac{-20 - 37i + 15}{16 + 25} = \frac{-5 - 37i}{41} = -\frac{5}{41} - \frac{37}{41}i \]

Ответ: а) \( 1 + 8i \); б) \( 9 - 2i \); в) \( -35 + 13i \); г) \( -\frac{5}{41} - \frac{37}{41}i \).