2. Дано: \( \overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{AC} = 5 : 3 \) (рис. 8.179). Найти: \( \angle BOC, \angle ABC \).

Решение:

1. Угол \( \angle BAC \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( \overset{\frown}{BC} \). Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается: \( \angle BAC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{BC} \).

2. Центральный угол \( \angle BOC \) равен величине дуги, на которую он опирается: \( \angle BOC = \overset{\frown}{BC} \).

3. Из условия задачи имеем: \( \overset{\frown}{AB} : \overset{\frown}{AC} = 5 : 3 \). Пусть \( \overset{\frown}{AB} = 5x \) и \( \overset{\frown}{AC} = 3x \).

4. Сумма всех дуг в окружности равна 360°. Однако, из рисунка видно, что \( \angle BAC = 60° \). Следовательно, дуга \( \overset{\frown}{BC} \) равна \( 2 \cdot 60° = 120° \).

5. Теперь мы можем найти \( \angle BOC \):

\[ \angle BOC = \overset{\frown}{BC} = 120° \]

6. Найдем величину дуг \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{AC} \). Сумма дуг \( \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{AC} + \overset{\frown}{BC} = 360° \).

\[ 5x + 3x + 120° = 360° \]

\[ 8x = 360° - 120° \]

\[ 8x = 240° \]

\[ x = 30° \]

7. Тогда \( \overset{\frown}{AB} = 5 \cdot 30° = 150° \) и \( \overset{\frown}{AC} = 3 \cdot 30° = 90° \).

8. Теперь найдем \( \angle ABC \). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \( \overset{\frown}{AC} \).

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC} = \frac{1}{2} \cdot 90° = 45° \]

Ответ: \( \angle BOC = 120° \), \( \angle ABC = 45° \).