2.118. Два простых числа, разность которых равна 2, называют числами-близнецами. В 2013 г. учёные доказали, что существует бесконечно много пар таких чисел. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел для n, равного 87, 135 и 165, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Являются ли эти пары числами-близнецами? в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите такие пары двузначных чисел, которые не являются числами-близнецами.

а) Пары простых чисел-близнецов среди чисел от 1 до 500:

\((3;5), (5;7), (11;13), (17;19), (29;31), (41;43), (59;61), (71;73), (101;103), (107;109), (137;139), (149;151), (179;181), (191;193), (197;199), (227;229), (239;241), (269;271), (281;283), (311;313), (347;349), (419;421), (431;433), (461;463)\).

Всего получилось 24 пары.

б) При \(n=87\): \(6n-1=521\), \(6n+1=523\). Оба числа простые, поэтому это пара близнецов.

При \(n=135\): \(6n-1=809\), \(6n+1=811\). Оба числа простые, поэтому это пара близнецов.

При \(n=165\): \(6n-1=989\), \(6n+1=991\). Число \(989=23\cdot43\), поэтому эта пара не является парой простых чисел-близнецов.

в) Двузначные пары вида \(6k-1\) и \(6k+1\), которые не являются парами близнецов: \((23;25)\), так как 25 составное число; \((35;37)\), так как 35 составное число; \((47;49)\), так как 49 составное число; \((53;55)\), так как 55 составное число; \((65;67)\), так как 65 составное число; \((77;79)\), так как 77 составное число; \((83;85)\), так как 85 составное число; \((95;97)\), так как 95 составное число.

Ответ: а) 24 пары; б) первые две пары — близнецы, третья — нет; в) \((23;25), (35;37), (47;49), (53;55), (65;67), (77;79), (83;85), (95;97)\).