2.11.13. Научная конференция по истории проводится в 4 дня так, что в каждый следующий день проводится в два раза меньше докладов, чем в предыдущий, а всего запланировано X докладов. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность, что доклад профессора Н. запланирован на первый или последний день.

Решение:

Обозначим количество докладов в первый день как \( x \).

1. Тогда во второй день будет \( \frac{x}{2} \) докладов.
2. В третий день — \( \frac{x}{4} \) докладов.
3. В четвёртый день — \( \frac{x}{8} \) докладов.
4. Общее количество докладов: \( x + \frac{x}{2} + \frac{x}{4} + \frac{x}{8} = X \).
5. Приведём к общему знаменателю: \( \frac{8x + 4x + 2x + x}{8} = X \)
6. \( \frac{15x}{8} = X \)
7. \( x = \frac{8X}{15} \).
8. Количество докладов в первый день: \( x = \frac{8X}{15} \).
9. Количество докладов в четвёртый (последний) день: \( \frac{x}{8} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8X}{15} = \frac{X}{15} \).
10. Общее число докладов, запланированных на первый или последний день: \( \frac{8X}{15} + \frac{X}{15} = \frac{9X}{15} = \frac{3X}{5} \).
11. Вероятность того, что доклад профессора Н. запланирован на первый или последний день, равна отношению числа докладов в первый или последний день к общему числу докладов:
12. \( P = \frac{\text{Число докладов в первый или последний день}}{\text{Общее число докладов}} = \frac{\frac{3X}{5}}{X} = \frac{3}{5} \).

Ответ: \( \frac{3}{5} \).