2.102. Приведите пример квадратного уравнения, корней которого:

Решение:

Пусть квадратное уравнение имеет вид \( ax^2 + bx + c = 0 \) с корнями \( x_1 \) и \( x_2 \). По теореме Виета, \( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \) и \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

1. а) в 3 раза больше другого
   Пусть \( x_1 = x \) и \( x_2 = 3x \).
   Тогда \( x_1 + x_2 = x + 3x = 4x = -\frac{b}{a} \) и \( x_1 \cdot x_2 = x \cdot 3x = 3x^2 = \frac{c}{a} \>.
   Возьмём \( a = 1 \). Тогда \( 4x = -b \) и \( 3x^2 = c \>. Отсюда \( x = -\frac{b}{4} \>.
   Подставим \( x \) во второе уравнение:
   \[ 3 \left(-\frac{b}{4}\right)^2 = c \]
   \[ 3 \frac{b^2}{16} = c \]
   \[ 3b^2 = 16c \]

   Выберите такие \( b \) и \( c \>, чтобы это равенство выполнялось. Например, пусть \( b = -4 \). Тогда \( 3(-4)^2 = 16c \> → \( 3 · 16 = 16c \> → \( c = 3 \>.
   Уравнение: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \>.
   Проверим корни: \( x_1 = 1 \), \( x_2 = 3 \>. Действительно, \( 3 = 3 \cdot 1 \>.
   Ответ: Пример уравнения: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).

2. б) на 7 меньше другого
   Пусть \( x_1 = x \) и \( x_2 = x - 7 \>.
   Тогда \( x_1 + x_2 = x + (x - 7) = 2x - 7 = -\frac{b}{a} \) и \( x_1 \cdot x_2 = x(x - 7) = x^2 - 7x = \frac{c}{a} \>.
   Возьмём \( a = 1 \>. Тогда \( 2x - 7 = -b \) и \( x^2 - 7x = c \>.
   Из первого уравнения \( 2x = 7 - b \) → \( x = \frac{7 - b}{2} \>.
   Подставим \( x \) во второе уравнение:
   \[ \left(\frac{7 - b}{2}\right)^2 - 7\left(\frac{7 - b}{2}\right) = c \]
   \[ \frac{(7 - b)^2}{4} - \frac{7(7 - b)}{2} = c \]
   \[ \frac{49 - 14b + b^2}{4} - \frac{14(7 - b)}{4} = c \]
   \[ 49 - 14b + b^2 - 98 + 14b = 4c \]
   \[ b^2 - 49 = 4c \]

   Выберите такие \( b \) и \( c \>, чтобы это равенство выполнялось. Например, пусть \( b = 3 \>. Тогда \( 3^2 - 49 = 4c \> → \( 9 - 49 = 4c \> → \( -40 = 4c \> → \( c = -10 \>.
   Уравнение: \( x^2 + 3x - 10 = 0 \>.
   Проверим корни: \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -5 \>. Действительно, \( -5 = 2 - 7 \>.
   Ответ: Пример уравнения: \( x^2 + 3x - 10 = 0 \).