2.100. Составьте квадратное уравнение, зная, что с корней, являющихся взаимно обратными числами,

Решение:

Пусть корни квадратного уравнения \( x_1 \) и \( x_2 \). По условию \( x_1 \) и \( x_2 \) — взаимно обратные числа, то есть \( x_2 = \frac{1}{x_1} \).

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) произведение корней равно \( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).

Подставим \( x_2 = \frac{1}{x_1} \):

\[ x_1 \cdot \frac{1}{x_1} = \frac{c}{a} \]

\[ 1 = \frac{c}{a} \]

Это означает, что \( c = a \).

Таким образом, квадратное уравнение, корни которого являются взаимно обратными числами, имеет вид \( ax^2 + bx + a = 0 \), где \( a \neq 0 \).

Приведём пример такого уравнения. Пусть \( a=1 \) и \( b=-3 \). Тогда уравнение будет \( x^2 - 3x + 1 = 0 \).

Найдем корни этого уравнения, чтобы убедиться, что они взаимно обратные:

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 \]

\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \]

\[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \]

Проверим произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 - \sqrt{5}}{2} = \frac{(3)^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{9 - 5}{4} = \frac{4}{4} = 1 \]

Так как произведение корней равно 1, корни являются взаимно обратными.

Ответ: Пример уравнения: \( x^2 - 3x + 1 = 0 \). В общем виде: \( ax^2 + bx + a = 0 \), где \( a \neq 0 \).