19. Тип 17 № 12225 Задумали трёхзначное число, которое меньше 500 и делится на 45. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и еди- ниц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 36. Какое число было задумано?

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Пусть задуманное трёхзначное число — \( \overline{abc} \), где \( a \in \{1, 2, 3, 4\} \) (т.к. число меньше 500), \( b, c \in \{0, 1, ..., 9\} \).
Число делится на 45. Это значит, что оно делится на 5 и на 9.
Делимость на 5 означает, что последняя цифра \( c = 0 \) или \( c = 5 \).
Делимость на 9 означает, что сумма цифр числа делится на 9: \( a + b + c = 9k \).
Рассмотрим случай \( c = 0 \):

\( a + b = 9k \). Возможные суммы \( a + b \): 9, 18.
Число делится на 45, значит, оно кратно 45. Возможные числа меньше 500: 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, 450, 495.
Из них трёхзначные, меньшие 500 и с \( c = 0 \): 180, 270, 360, 450.

Итак, возможные задуманные числа: 180, 270, 360, 450, 135, 225, 315, 405, 495.
После перестановки цифр десятков и единиц получили число \( \overline{acb} \).
Разность между задуманным числом и новым числом равна 36: \( \overline{abc} - \overline{acb} = 36 \).
\( (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 36 \)
\( 10b + c - 10c - b = 36 \)
\( 9b - 9c = 36 \)
\( b - c = 4 \)
Теперь проверим наши возможные числа:

Для 180: \( b = 8, c = 0 \). \( 8 - 0 = 8 \neq 4 \).
Для 270: \( b = 7, c = 0 \). \( 7 - 0 = 7 \neq 4 \).
Для 360: \( b = 6, c = 0 \). \( 6 - 0 = 6 \neq 4 \).
Для 450: \( b = 5, c = 0 \). \( 5 - 0 = 5 \neq 4 \).
Для 135: \( b = 3, c = 5 \). \( 3 - 5 = -2 \neq 4 \).
Для 225: \( b = 2, c = 5 \). \( 2 - 5 = -3 \neq 4 \).
Для 315: \( b = 1, c = 5 \). \( 1 - 5 = -4 \neq 4 \).
Для 405: \( b = 0, c = 5 \). \( 0 - 5 = -5 \neq 4 \).
Для 495: \( b = 9, c = 5 \). \( 9 - 5 = 4 \). Это число подходит.

Задуманное число 495. Оно трёхзначное, меньше 500, делится на 45 (495 = 45 * 11).
Переставим цифры десятков и единиц: 459.
Вычтем: \( 495 - 459 = 36 \). Условие выполнено.

Ответ: 495.