18. Тип 16 № 12020 В треугольнике АВС стороны ВС и АС равны, угол С равен 112°. Биссектрисы углов А и В пересекаются в точке М. Найдите ве- личину угла АМВ.

Решение:

1. По условию \( AC = BC \), значит, треугольник ABC — равнобедренный.
2. Углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \).
3. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому:

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle A + 112^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( 2 \angle A = 180^{\circ} - 112^{\circ} \)

\( 2 \angle A = 68^{\circ} \)

\( \angle A = \angle B = 34^{\circ} \)

4. AM и BM — биссектрисы углов A и B соответственно.
5. Найдём углы в треугольнике ABM:

\( \angle MAB = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \times 34^{\circ} = 17^{\circ} \)

\( \angle MBA = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \times 34^{\circ} = 17^{\circ} \)

6. Сумма углов треугольника AMB равна 180°:

\( \angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB + 17^{\circ} + 17^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB + 34^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle AMB = 180^{\circ} - 34^{\circ} \)

\( \angle AMB = 146^{\circ} \)

Ответ: 146°.