19 Из ящика, где хранятся 9 жёлтых и 15 зелёных карандашей, продавец не глядя вынимает один за другим 3 карандаша. Найдите вероятность того, чт а) 2 первых карандаша окажутся зелёными; б) все 3 карандаша будут жёлтые; в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

Решение:

Всего карандашей в ящике: \( 9 + 15 = 24 \) шт.

а) 2 первых карандаша окажутся зелёными;

Вероятность того, что первый карандаш зелёный:

\( P(\text{1-й зелёный}) = \frac{15}{24} \)

После того как вынули один зелёный карандаш, осталось 14 зелёных и 23 карандаша всего.

Вероятность того, что второй карандаш зелёный:

\( P(\text{2-й зелёный} | \text{1-й зелёный}) = \frac{14}{23} \)

Вероятность того, что третий карандаш будет любого цвета (неважно, так как условие только про первые два):

\( P(\text{3-й любой}) = \frac{22}{22} = 1 \)

Вероятность того, что первые два карандаша зелёные:

\( P = P(\text{1-й зелёный}) \times P(\text{2-й зелёный} | \text{1-й зелёный}) \times P(\text{3-й любой}) = \frac{15}{24} \times \frac{14}{23} \times 1 = \frac{15 \times 14}{24 \times 23} = \frac{210}{552} \)

Сократим дробь:

\( P = \frac{35}{92} \)

б) все 3 карандаша будут жёлтые;

Вероятность того, что первый карандаш жёлтый:

\( P(\text{1-й жёлтый}) = \frac{9}{24} \)

Осталось 8 жёлтых и 23 карандаша всего.

Вероятность того, что второй карандаш жёлтый:

\( P(\text{2-й жёлтый} | \text{1-й жёлтый}) = \frac{8}{23} \)

Осталось 7 жёлтых и 22 карандаша всего.

Вероятность того, что третий карандаш жёлтый:

\( P(\text{3-й жёлтый} | \text{1-й и 2-й жёлтые}) = \frac{7}{22} \)

Вероятность того, что все 3 карандаша жёлтые:

\( P = \frac{9}{24} \times \frac{8}{23} \times \frac{7}{22} = \frac{9 \times 8 \times 7}{24 \times 23 \times 22} = \frac{504}{12144} \)

Сократим дробь:

\( P = \frac{21}{506} \)

в) цвета будут чередоваться в порядке жёлтый — зелёный — жёлтый.

Вероятность того, что первый карандаш жёлтый:

\( P(\text{1-й жёлтый}) = \frac{9}{24} \)

Осталось 15 зелёных и 23 карандаша всего.

Вероятность того, что второй карандаш зелёный:

\( P(\text{2-й зелёный} | \text{1-й жёлтый}) = \frac{15}{23} \)

Осталось 8 жёлтых и 22 карандаша всего.

Вероятность того, что третий карандаш жёлтый:

\( P(\text{3-й жёлтый} | \text{1-й жёлтый, 2-й зелёный}) = \frac{8}{22} \)

Вероятность такого чередования:

\( P = \frac{9}{24} \times \frac{15}{23} \times \frac{8}{22} = \frac{9 \times 15 \times 8}{24 \times 23 \times 22} = \frac{1080}{12144} \)

Сократим дробь:

\( P = \frac{45}{506} \)

Ответ: а) ; б) ; в) .