18 В группе 18 человек, из них 7 мальчиков, остальные — девочки. По сигналу учителя физкультуры они быстро построились в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что на концах шеренги окажутся две девочки или два мальчика.

Решение:

Всего в группе 18 человек. Из них 7 мальчиков. Значит, девочек: \( 18 - 7 = 11 \) девочек.

Всего способов построить 18 человек в шеренгу равно числу перестановок из 18 элементов:

\( N = 18! \)

Найдем количество способов, при которых на концах шеренги окажутся две девочки. Для этого выберем 2 девочки из 11 и расположим их на концах (2 способа), а остальных 16 человек расположим посередине (16! способов):

\( N(\text{2 девочки на концах}) = P_{11}^2 \times 16! = \frac{11!}{9!} \times 16! = 11 \times 10 \times 16! \)

Найдем количество способов, при которых на концах шеренги окажутся два мальчика. Для этого выберем 2 мальчика из 7 и расположим их на концах (2 способа), а остальных 16 человек расположим посередине (16! способов):

\( N(\text{2 мальчика на концах}) = P_7^2 \times 16! = \frac{7!}{5!} \times 16! = 7 \times 6 \times 16! \)

События «на концах две девочки» и «на концах два мальчика» несовместны, поэтому общее число благоприятных исходов равно сумме:

\( N(\text{благоприятные}) = (11 \times 10 \times 16!) + (7 \times 6 \times 16!) = (110 + 42) \times 16! = 152 \times 16! \)

Вероятность искомого события:

\( P = \frac{N(\text{благоприятные})}{N} = \frac{152 \times 16!}{18!} = \frac{152 \times 16!}{18 \times 17 \times 16!} = \frac{152}{18 \times 17} = \frac{152}{306} \)

Сократим дробь:

\( P = \frac{76}{153} \)

Ответ: .