19) \(\frac\){\(a^{20} \cdot a^4\) : a^{4n}}{(a^2)^2} = a^{12}

Решение:

Используем свойства степеней \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \), \( a^m : a^n = a^{m-n} \), \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

1. Упростим числитель:
• \( a^{20} \cdot a^4 = a^{20 + 4} = a^{24} \).
• \( a^{24} : a^{4n} = a^{24 - 4n} \).
2. Упростим знаменатель: \( (a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4 \).
3. Выражение становится: \( \frac{a^{24 - 4n}}{a^4} \).
4. Применим правило деления степеней: \( a^{(24 - 4n) - 4} = a^{20 - 4n} \).
5. По условию, \( a^{20 - 4n} = a^{12} \).
6. Приравниваем показатели степеней: \( 20 - 4n = 12 \).
7. Решаем уравнение: \( -4n = 12 - 20 \) \( -4n = -8 \) \( n = \frac{-8}{-4} \) \( n = 2 \).

Ответ: n = 2.