18 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Площадь треугольника можно найти по формуле \( S = \frac{1}{2} · основание · высота \).

Чтобы найти площадь, можно использовать метод разбиения на прямоугольники и вычитания площадей лишних частей, или же определить длины основания и высоты по клеткам.

Способ 1: Метод вычитания

1. Определим размеры прямоугольника, в который вписан треугольник. Вершины треугольника находятся в точках (0,0), (5,2), (2,4).
2. Строим прямоугольник с вершинами в (0,0), (5,0), (5,4), (0,4). Его площадь \( S_{rect} = 5 · 4 = 20 \) квадратных единиц.
3. Вычислим площади трех прямоугольных треугольников, которые образуют "лишние" части:
   • Треугольник 1 (нижний левый): катеты 2 и 2. Площадь \( S_1 = \frac{1}{2} · 2 · 2 = 2 \).
   • Треугольник 2 (правый): катеты 3 и 2. Площадь \( S_2 = \frac{1}{2} · 3 · 2 = 3 \).
   • Треугольник 3 (верхний): катеты 5 и 2. Площадь \( S_3 = \frac{1}{2} · 5 · 2 = 5 \).
4. Площадь искомого треугольника: \( S = S_{rect} - S_1 - S_2 - S_3 = 20 - 2 - 3 - 5 = 10 \).

Способ 2: Через основание и высоту

1. Возьмем за основание сторону, лежащую на горизонтальной линии. Ее длина равна 5 клеткам.
2. Высота, проведенная к этому основанию, равна 2 клеткам (расстояние по вертикали от верхней вершины до линии основания).
3. Площадь треугольника: \( S = \frac{1}{2} · 5 · 2 = 5 \).

Примечание: Выбор основания и высоты зависит от того, как расположены вершины. Если взять другую сторону за основание, расчет будет сложнее, но результат тот же. В данном случае, если взять сторону длиной 5 клеток как основание, то высота будет 2 клетки, и площадь равна \( \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5 \). Если взять сторону, которая проходит через (0,0) и (5,2) как основание, то ее длина \( \sqrt{5^2 + 2^2} = \sqrt{29} \). Высота будет перпендикулярна этой стороне.

Проведем более точный анализ по клеткам:

Рассмотрим треугольник с вершинами в точках, соответствующих координатам на сетке. Пусть одна вершина в (0,0). Вторая в (5,2). Третья в (2,4).

Вариант 1: Основание на горизонтальной линии.

Пусть основание — отрезок, соединяющий точки (0,0) и (5,2). Длина основания \( L = √{(5-0)^2 + (2-0)^2} = √{25+4} = √{29} \). Уравнение прямой, проходящей через (0,0) и (5,2): \( y = \frac{2}{5}x \) или \( 2x - 5y = 0 \).

Высота — расстояние от точки (2,4) до прямой \( 2x - 5y = 0 \).

\[ h = \frac{|2 \cdot 2 - 5 · 4|}{√{2^2 + (-5)^2}} = \frac{|4 - 20|}{√{4+25}} = \frac{|-16|}{√{29}} = \frac{16}{√{29}} \]

Площадь \( S = \frac{1}{2} · √{29} · \frac{16}{√{29}} = \frac{1}{2} · 16 = 8 \).

Вариант 2: Площадь по формуле Пика (для многоугольников на сетке).

\( S = I + \frac{B}{2} - 1 \), где \( I \) — число внутренних узлов, \( B \) — число узлов на границе.

• Граница: 5 точек на основании (0,0)-(5,2), 3 точки на стороне (5,2)-(2,4), 4 точки на стороне (2,4)-(0,0). Всего \( B = 5 + 3 + 4 - 3 \) (вершины считаем один раз) \( = 9 \).
• Внутренние точки: (1,0), (2,0), (3,1), (4,1), (1,1), (3,2), (4,2), (1,2), (2,3), (3,3), (4,3) - если считать все, то B=12.
• Точки на границе: (0,0), (1,0), (2,0), (3,1), (4,1), (5,2), (4,3), (3,4), (2,4), (1,3). Итого B = 10.
• Внутренние точки: (1,1), (2,1), (3,2), (4,2), (2,2), (3,3), (4,3), (1,2), (2,3). Итого I = 9.
• \( S = 9 + \frac{10}{2} - 1 = 9 + 5 - 1 = 13 \).

Пересчет по клеткам (наиболее простой и надежный способ):

Определим координаты вершин на сетке:

• Левая нижняя вершина: \( (0, 0) \)
• Правая нижняя вершина: \( (5, 2) \)
• Верхняя вершина: \( (2, 4) \)

Метод 1: разбиваем на прямоугольники и вычитаем.

Возьмем прямоугольник, охватывающий весь треугольник, с вершинами в (0,0), (5,0), (5,4), (0,4). Его площадь = \( 5 · 4 = 20 \).

Вычислим площади трех прямоугольных треугольников по углам:

• Нижний левый: вершины (0,0), (2,0), (2,4). Катеты 2 и 4. Площадь \( \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \).
• Правый: вершины (5,2), (5,0), (2,0). Катеты 3 и 2. Площадь \( \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \).
• Верхний: вершины (2,4), (5,4), (5,2). Катеты 3 и 2. Площадь \( \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3 \).

Площадь искомого треугольника = \( 20 - 4 - 3 - 3 = 10 \).

Метод 2: Прямое определение основания и высоты.

Возьмем основание, расположенное на нижней стороне сетки, от точки (0,0) до точки (5,0) — это 5 клеток. Высота, проведенная из вершины (2,4) к этой линии, равна 4 клеткам. Это не треугольник. Это прямоугольник.

Смотрим на изображение.

Вершины треугольника находятся в следующих точках сетки (относительно левого нижнего угла):

• Вершина 1: (0,0)
• Вершина 2: (5,2)
• Вершина 3: (2,4)

Вариант 1: Основание — отрезок между (0,0) и (5,2).

Длина этого отрезка — \( √{5^2 + 2^2} = √{29} \).

Высота, проведенная из (2,4) к этой линии, равна \( \frac{16}{√{29}} \).

Площадь = \( \frac{1}{2} · √{29} · \frac{16}{√{29}} = 8 \).

Вариант 2: Основание — отрезок между (0,0) и (2,4).

Длина этого отрезка — \( √{2^2 + 4^2} = √{4+16} = √{20} = 2√{5} \).

Уравнение прямой: \( y = 2x \) или \( 2x - y = 0 \).

Высота от (5,2) до \( 2x - y = 0 \): \( h = \frac{|2 · 5 - 2|}{√{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|10-2|}{√{5}} = \frac{8}{√{5}} \).

Площадь = \( \frac{1}{2} · 2√{5} · \frac{8}{√{5}} = 8 \).

Вариант 3: Основание — отрезок между (5,2) и (2,4).

Длина этого отрезка — \( √{(5-2)^2 + (2-4)^2} = √{3^2 + (-2)^2} = √{9+4} = √{13} \).

Уравнение прямой, проходящей через (5,2) и (2,4): \( m = \frac{4-2}{2-5} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \). \( y - 2 = -\frac{2}{3}(x-5) \) => \( 3y - 6 = -2x + 10 \) => \( 2x + 3y - 16 = 0 \).

Высота от (0,0) до \( 2x + 3y - 16 = 0 \): \( h = \frac{|2 · 0 + 3 · 0 - 16|}{√{2^2 + 3^2}} = \frac{|-16|}{√{4+9}} = \frac{16}{√{13}} \).

Площадь = \( \frac{1}{2} · √{13} · \frac{16}{√{13}} = 8 \).

Используя метод разбиения на клетки, который визуально проще:

1. Охватывающий прямоугольник:

Диапазон по X: от 0 до 5 (5 клеток). Диапазон по Y: от 0 до 4 (4 клетки).

Площадь прямоугольника = \( 5 · 4 = 20 \) клеток.

2. Площадь трех внешних прямоугольных треугольников:

• Треугольник 1 (слева): вершины (0,0), (0,4), (2,4). Катеты: 2 (по X) и 4 (по Y). Площадь = \( \frac{1}{2} · 2 · 4 = 4 \) клетки.
• Треугольник 2 (внизу справа): вершины (2,0), (5,0), (5,2). Катеты: 3 (по X) и 2 (по Y). Площадь = \( \frac{1}{2} · 3 · 2 = 3 \) клетки.
• Треугольник 3 (сверху справа): вершины (2,4), (5,4), (5,2). Катеты: 3 (по X) и 2 (по Y). Площадь = \( \frac{1}{2} · 3 · 2 = 3 \) клетки.

3. Площадь искомого треугольника:

Площадь = Площадь охватывающего прямоугольника - Сумма площадей внешних треугольников.

Площадь = \( 20 - (4 + 3 + 3) = 20 - 10 = 10 \) клеток.

Ответ: 10.