17. Постройте график функции y = (x-1)(x²-5x+6) / (x-3) и определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

\[ y = \frac{(x-1)(x^2-5x+6)}{x-3} \]
Разложим квадратный трехчлен \( x^2-5x+6 \) на множители. Найдем корни уравнения \( x^2-5x+6=0 \):
\( D = (-5)^2 - 4 · 1 · 6 = 25 - 24 = 1 \)
\( x_1 = \frac{5+1}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{5-1}{2} = 2 \)
Значит, \( x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \).
Подставим обратно в функцию:
\[ y = \frac{(x-1)(x-2)(x-3)}{x-3} \]
При \( x ≠ 3 \), мы можем сократить \( (x-3) \):
\[ y = (x-1)(x-2) \]
\[ y = x^2 - 2x - x + 2 \]
\[ y = x^2 - 3x + 2 \]

Таким образом, график функции — это парабола \( y = x^2 - 3x + 2 \) с выколотой точкой при \( x=3 \).

График — парабола \( y = x^2 - 3x + 2 \).
Найдем вершину параболы: \( x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-3)}{2 · 1} = \frac{3}{2} = 1.5 \)
\( y_v = (1.5)^2 - 3(1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 \)
Вершина параболы: (1.5; -0.25).
Найдем точку пересечения с осью Y (при \( x=0 \)): \( y = 0^2 - 3(0) + 2 = 2 \). Точка (0; 2).
Найдем точку пересечения с осью X (при \( y=0 \)): \( x^2 - 3x + 2 = 0 \). Корни: \( x=1 \) и \( x=2 \). Точки (1; 0) и (2; 0).
Выколотая точка: При \( x=3 \), значение функции \( y = 3^2 - 3(3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 \). Значит, точка (3; 2) выколота.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая.
Нам нужно найти такие значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает параболу \( y = x^2 - 3x + 2 \) (с учетом выколотой точки) ровно в одной точке.
- Если \( m \) равно значению \( y \) вершины параболы, то будет одна точка пересечения: \( m = -0.25 \).
- Если \( m \) равно значению \( y \) выколотой точки, и эта точка не является вершиной, то также будет одна точка пересечения. В нашем случае, выколотая точка имеет \( y=2 \). Если \( m=2 \), то прямая \( y=2 \) пересекает параболу в двух точках: (0; 2) и (3; 2). Но так как точка (3; 2) выколота, останется только одна точка пересечения (0; 2).

Ответ: m = -0.25, m = 2