17. Дано: ABCD - четырехугольник, AC и BD - диагонали, пересекающиеся в точке O. Указано, что \(\angle\) BAC = \(\angle\) ACD и \(\angle\) ABD = \(\angle\) CDB, AB = CD. Доказать: \(\triangle BOA = \triangle COD\).

Доказательство:

Рассмотрим \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\).

1. \( AB = CD \) (по условию).
2. \( \angle BAC = \angle ACD \) (по условию).
3. \( AC \) — общая сторона.

По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников) \(\triangle ABC = \triangle CDA\).

Из равенства треугольников следует, что \( \angle BCA = \angle CAD \).

Теперь рассмотрим \(\triangle BOA\) и \(\triangle COD\).

1. \( \angle BAO = \angle CDO \) (так как \( \angle BAC = \angle ACD \) и \( AC \) — секущая, это накрест лежащие углы при прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( AC \)).
2. \( \angle ABO = \angle CDO \) (так как \( \angle ABD = \angle CDB \) и \( BD \) — секущая, это накрест лежащие углы при прямых \( AB \) и \( CD \) и секущей \( BD \)).
3. \( AB = CD \) (по условию).

По стороне и двум прилежащим к ней углам (признак равенства треугольников) \(\triangle BOA = \triangle COD\).

Доказано.