168. Решите неравенства: 1) $\sqrt{x^2-1}>1$; 2) $\sqrt{1-x^2}<1$; 3) $\sqrt{25-x^2}>4$; 4) $\sqrt{25-x^2}<4$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 168. Решите неравенства: 1) $\sqrt{x^2-1}>1$; 2) $\sqrt{1-x^2}<1$; 3) $\sqrt{25-x^2}>4$; 4) $\sqrt{25-x^2}<4$.$ Фото задания

Accepted Answer

Область определения: $x^2-1\ge 0$, то есть $|x|\ge 1$. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим в квадрат: $x^2-1>1$, откуда $x^2>2$. С учётом области определения получаем $x< -\sqrt{2}$ или $x>\sqrt{2}$.
Область определения: $1-x^2\ge 0$, то есть $-1\le x\le 1$. На этом промежутке $0\le \sqrt{1-x^2}\le 1$. Строгое неравенство нарушается только при значении корня 1, то есть при $x=0$.
Область определения: $25-x^2\ge 0$, то есть $-5\le x\le 5$. Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: $25-x^2>16$, откуда $x^2<9$. С учётом области определения: \(-3
Область определения: $-5\le x\le 5$. Поскольку обе части неотрицательны, $\sqrt{25-x^2}<4$ равносильно $25-x^2<16$, то есть $x^2>9$. Пересекаем с областью определения: $[-5,-3)\cup(3,5]$.

Ответ: 1) $(-\infty,-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},+\infty)$; 2) $[-1,0)\cup(0,1]$; 3) $(-3,3)$; 4) $[-5,-3)\cup(3,5]$.

168. Решите неравенства: 1) \(\sqrt{x^2-1}>1\); 2) \(\sqrt{1-x^2}<1\); 3) \(\sqrt{25-x^2}>4\); 4) \(\sqrt{25-x^2}<4\).