160. При каком значении n графики функций y = 2x² − 5x + 8 и y = x² − 7x + n имеют только одну общую точку? Найдите координаты этой точки.

В общей точке значения функций равны:

2x² − 5x + 8 = x² − 7x + n.

Перенесём всё в одну сторону: x² + 2x + 8 − n = 0. Чтобы графики имели ровно одну общую точку, это квадратное уравнение должно иметь один корень, то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

D = 2² − 4 · 1 · (8 − n) = 4n − 28 = 0.

Отсюда n = 7. Тогда уравнение пересечения: x² + 2x + 1 = 0, то есть (x + 1)² = 0. Значит, x = −1. Подставим в первую функцию: y = 2 · (−1)² − 5 · (−1) + 8 = 15.

Ответ: n = 7; общая точка (−1; 15).