16. Тип Д10 № 339438 Прямая касается окружности в точке К. Точка О — центр окружности. Хорда КМ образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла ОМК. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол между касательной (прямая, касающаяся окружности в точке К) и хордой КМ равен 83°. По теореме об угле между касательной и хордой, этот угол равен половине дуги, стягиваемой хордой КМ. То есть, величина дуги КМ равна \( 2 \times 83^\circ = 166^\circ \).

Угол KОМ — центральный угол, опирающийся на дугу КМ, поэтому \( \angle KOM = 166^\circ \).

В треугольнике КОМ, ОК и ОМ — радиусы окружности, поэтому \( OK = OM \). Треугольник КОМ — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle OMK = \angle OKM \).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдём угол ОМК:

\[ \angle OMK = \frac{180^\circ - \angle KOM}{2} = \frac{180^\circ - 166^\circ}{2} = \frac{14^\circ}{2} = 7^\circ \]

Ответ: 7.