16. На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 122°. Длина меньшей дуги AB равна 61. Найдите длину большей дуги AB.

Задание 16. Дуги окружности

Дано:

• Окружность с центром O.
• Точки A и B на окружности.
• Центральный угол \( \angle AOB = 122^{\circ} \).
• Длина меньшей дуги AB равна 61.

Найти: длину большей дуги AB.

Решение:

Полная длина окружности соответствует 360°. Угол \( \angle AOB = 122^{\circ} \) соответствует меньшей дуге AB.

Чтобы найти длину большей дуги AB, нужно вычесть угол меньшей дуги из полного угла окружности:

\[ \text{Угол большей дуги} = 360^{\circ} - 122^{\circ} = 238^{\circ} \]

Длина дуги пропорциональна центральному углу, который она стягивает. Отношение длины большей дуги к длине окружности равно отношению угла большей дуги к 360°.

Пусть L — длина всей окружности. Мы знаем, что длина меньшей дуги AB (соответствующей 122°) равна 61. Тогда:

\[ \frac{\text{Длина меньшей дуги}}{\text{Длина окружности}} = \frac{122^{\circ}}{360^{\circ}} \]

Из этого следует, что длина окружности \( L = 61 \cdot \frac{360}{122} \).

Теперь найдем длину большей дуги, которая соответствует углу 238°:

\[ \text{Длина большей дуги} = L \cdot \frac{238^{\circ}}{360^{\circ}} = \left( 61 \cdot \frac{360}{122} \right) \cdot \frac{238}{360} \]

Сокращаем 360:

\[ \text{Длина большей дуги} = 61 \cdot \frac{238}{122} \]

Упрощаем дробь \( \frac{238}{122} = \frac{119}{61} \).

\[ \text{Длина большей дуги} = 61 \cdot \frac{119}{61} = 119 \]

Ответ: 119