15. В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 60°, ВС=12√6. Найдите АС.

Решение:

Используем теорему синусов для треугольника ABC:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

Где \( a = BC \), \( b = AC \), \( c = AB \).

Нам дано:

• \( \angle A = 45^{\circ} \)
• \( \angle B = 60^{\circ} \)
• \( BC = 12\sqrt{6} \)

Найти \( AC \).

Сначала найдем угол \( C \):

\( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 60^{\circ} = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ} \).

Теперь применим теорему синусов для сторон \( BC \) и \( AC \):

\( \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{12\sqrt{6}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{AC}{\sin 60^{\circ}} \)

Известно, что \( \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)

Упростим левую часть:

\( 12\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 24 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 24 \sqrt{\frac{6}{2}} = 24 \sqrt{3} \).

Теперь уравнение выглядит так:

\( 24\sqrt{3} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)

Выразим \( AC \):

\( AC = 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{24 \cdot 3}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)

Ответ: 36