15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если ∠C = 65° и BM = AM = MC.

Решение:

В треугольнике ABC медиана BM проведена к стороне AC. По условию BM = AM = MC. Это означает, что точка M является центром описанной окружности для треугольника ABC, а BM, AM, MC — радиусы этой окружности.

Рассмотрим треугольник BMC. Так как BM = MC, он является равнобедренным. Углы при основании равны: \( \angle MBC = \angle C = 65^{\circ} \).

Сумма углов в треугольнике BMC равна 180°. Найдём \( \angle BMC \): \( \angle BMC = 180^{\circ} - (\angle MBC + \angle C) = 180^{\circ} - (65^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).

Углы \( \angle BMC \) и \( \angle AMB \) — смежные, поэтому их сумма равна 180°. Найдём \( \angle AMB \): \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник AMB. Так как AM = BM, он является равнобедренным. Углы при основании равны: \( \angle BAM = \angle ABM \).

Сумма углов в треугольнике AMB равна 180°. Найдём \( \angle BAM \): \( \angle BAM = \frac{180^{\circ} - \angle AMB}{2} = \frac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ} \).

Угол \( \angle A \) в треугольнике ABC равен \( \angle BAM \).

Ответ: \( 25^{\circ} \).