15. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если ∠C=65° и BM = AM = MC.

Решение:

1. Свойство медианы: В условии дано, что \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка M является центром описанной окружности треугольника ABC, а BM, AM, MC — это радиусы этой окружности.
2. Треугольник ABM: Так как \( BM = AM \), то треугольник ABM — равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ BAM = ∠ ABM \). Обозначим \( ∠ A \) как \( ∠ BAM \).
3. Треугольник BCM: Так как \( BM = MC \), то треугольник BCM — равнобедренный. Углы при основании равны: \( ∠ C = ∠ CBM \). По условию \( ∠ C = 65^\circ \), значит \( ∠ CBM = 65^\circ \).
4. Угол ABC: Угол ABC равен сумме углов ABM и CBM: \( ∠ ABC = ∠ ABM + ∠ CBM \).
5. Сумма углов в треугольнике BCM: Сумма углов в треугольнике BCM равна 180°. \( ∠ BMC = 180^\circ - (∠ C + ∠ CBM) = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
6. Угол ABM: Угол ABM является смежным к углу BMC, поэтому \( ∠ ABM = 180^\circ - ∠ BMC = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ \). (Внимание: это ошибка в рассуждении, угол ABM является частью угла ABC, а не смежным к BMC. Исправим логику.)
7. Исправленное рассуждение:
• Треугольник BCM: \( BM = MC \) и \( ∠ C = 65^\circ \). Значит \( ∠ CBM = ∠ C = 65^\circ \).
• Угол при вершине B в треугольнике BCM: \( ∠ BMC = 180^\circ - (65^\circ + 65^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \).
• Треугольник ABM: \( AM = BM \), значит \( ∠ BAM = ∠ ABM \). Обозначим \( ∠ A = x \), тогда \( ∠ ABM = x \).
• Угол ABC: \( ∠ ABC = ∠ ABM + ∠ CBM = x + 65^\circ \).
• Сумма углов в треугольнике ABC: \( ∠ A + ∠ ABC + ∠ C = 180^\circ \).
• Подставляем известные значения: \( x + (x + 65^\circ) + 65^\circ = 180^\circ \).
• \( 2x + 130^\circ = 180^\circ \).
• \( 2x = 180^\circ - 130^\circ \).
• \( 2x = 50^\circ \).
• \( x = 25^\circ \).

Ответ: 25