15. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 52, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 26√3. Найдите sin∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( CH \) — высота, проведенная к гипотенузе \( AB \). По условию \( AC = 52 \) и \( CH = 26\sqrt{3} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( △ ACH \). В нем \( CH \) — катет, противолежащий углу \( ∠ CAH \). Значит, \( ∠ CAH = ∠ BAC \).

Из \( ∣ ACH \):

\[ \sin(\angle CAH) = \frac{CH}{AC} \]\[ \sin(\angle BAC) = \frac{26\sqrt{3}}{52} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Угол \( ∠ BAC \) — острый угол прямоугольного треугольника, поэтому \( ∠ BAC = 60° \).

В прямоугольном треугольнике \( △ ABC \) сумма острых углов равна 90°:

\[ \angle ABC + \angle BAC = 90° \]\[ \angle ABC = 90° - \angle BAC \]\[ \angle ABC = 90° - 60° \]\[ \angle ABC = 30° \]

Теперь найдем \( \sin(\angle ABC) \):

\[ \sin(\angle ABC) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \]

Ответ: 1/2