15. Решите неравенство х⁴ log₈(7 - x) ≤ log₂(x² - 14x + 49).

Решение:

1. ОДЗ (Область Допустимых Значений):

• Для логарифма \( \log_8(7 - x) \) необходимо, чтобы \( 7 - x > 0 \), то есть \( x < 7 \).
• Для логарифма \( \log_2(x^2 - 14x + 49) \) необходимо, чтобы \( x^2 - 14x + 49 > 0 \).
• Заметим, что \( x^2 - 14x + 49 = (x - 7)^2 \).
• Таким образом, \( (x - 7)^2 > 0 \), что выполняется для всех \( x \neq 7 \).
• Объединяя условия \( x < 7 \) и \( x \neq 7 \), получаем ОДЗ: \( x < 7 \).

2. Преобразование неравенства:

• Перепишем \( \log_8(7 - x) \) с основанием 2: \( \log_8(7 - x) = \frac{\log_2(7 - x)}{\log_2 8} = \frac{\log_2(7 - x)}{3} \).
• Неравенство примет вид: \( x^4 \cdot \frac{\log_2(7 - x)}{3} \le \log_2((x - 7)^2) \).
• Используем свойство логарифма \( \log_b(a^c) = c \log_b(a) \): \( x^4 \cdot \frac{\log_2(7 - x)}{3} \le 2 \log_2(|x - 7|) \).
• Так как \( x < 7 \), то \( x - 7 < 0 \), и \( |x - 7| = -(x - 7) = 7 - x \).
• Получаем: \( \frac{x^4}{3} \log_2(7 - x) \le 2 \log_2(7 - x) \).

3. Решение неравенства:

• Перенесём все члены в одну сторону: \( \frac{x^4}{3} \log_2(7 - x) - 2 \log_2(7 - x) \le 0 \).
• Вынесем общий множитель \( \log_2(7 - x) \): \( \log_2(7 - x) \left( \frac{x^4}{3} - 2 \right) \le 0 \).
• Рассмотрим два случая, учитывая, что \( \log_2(7 - x) \) является возрастающей функцией.

Случай 1: \( \log_2(7 - x) \ge 0 \) и \( \frac{x^4}{3} - 2 \le 0 \).

• \( \log_2(7 - x) \ge 0 \) → \( 7 - x \ge 2^0 \) → \( 7 - x \ge 1 \) → \( x \le 6 \).
• \( \frac{x^4}{3} - 2 \le 0 \) → \( \frac{x^4}{3} \le 2 \) → \( x^4 \le 6 \) → \( -\sqrt[4]{6} \le x \le \sqrt[4]{6} \).
• Пересечение условий: \( -\sqrt[4]{6} \le x \le \sqrt[4]{6} \) (так как \( \sqrt[4]{6} \approx 1.56 \), что меньше 6).

Случай 2: \( \log_2(7 - x) \le 0 \) и \( \frac{x^4}{3} - 2 \ge 0 \).

• \( \log_2(7 - x) \le 0 \) → \( 7 - x \le 2^0 \) → \( 7 - x \le 1 \) → \( x \ge 6 \).
• \( \frac{x^4}{3} - 2 \ge 0 \) → \( \frac{x^4}{3} \ge 2 \) → \( x^4 \ge 6 \) → \( x \le -\sqrt[4]{6} \) или \( x \ge \sqrt[4]{6} \).
• Пересечение условий: \( x \ge 6 \) и \( x \ge \sqrt[4]{6} \) → \( x \ge 6 \) (так как \( 6 > \sqrt[4]{6} \)).

4. Объединение решений:

Объединяем решения из Случая 1 и Случая 2, учитывая ОДЗ \( x < 7 \).

• Из Случая 1: \( [-\sqrt[4]{6}; \sqrt[4]{6}] \).
• Из Случая 2: \( [6; 7) \).

Ответ: \( [-\sqrt[4]{6}; \sqrt[4]{6}] \cup [6; 7) \).