13. а) Решите уравнение 4 sin²x - 2 cos x sin 2x + 3 sin x - 1 = 0. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-7π/2; -5π/6).

Решение:

а) Решение уравнения:

1. Преобразуем уравнение:
• Используем формулу синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).
• Уравнение примет вид: \( 4 \sin^2 x - 2 \cos x (2 \sin x \cos x) + 3 \sin x - 1 = 0 \).
• Упрощаем: \( 4 \sin^2 x - 4 \sin x \cos^2 x + 3 \sin x - 1 = 0 \).
• Заменим \( \cos^2 x \) на \( 1 - \sin^2 x \): \( 4 \sin^2 x - 4 \sin x (1 - \sin^2 x) + 3 \sin x - 1 = 0 \).
• Раскроем скобки: \( 4 \sin^2 x - 4 \sin x + 4 \sin^3 x + 3 \sin x - 1 = 0 \).
• Приведём подобные члены: \( 4 \sin^3 x + 4 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \).
2. Сгруппируем члены:
• \( (4 \sin^3 x + 4 \sin^2 x) - (\sin x + 1) = 0 \).
• Вынесем общий множитель: \( 4 \sin^2 x (\sin x + 1) - (\sin x + 1) = 0 \).
• Вынесем \( (\sin x + 1) \) как общий множитель: \( (\sin x + 1)(4 \sin^2 x - 1) = 0 \).
3. Решим полученные уравнения:
• Случай 1: \( \sin x + 1 = 0 \) → \( \sin x = -1 \).
• Корни: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
• Случай 2: \( 4 \sin^2 x - 1 = 0 \) → \( \sin^2 x = \frac{1}{4} \) → \( \sin x = \pm\frac{1}{2} \).
• Если \( \sin x = \frac{1}{2} \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
• Если \( \sin x = -\frac{1}{2} \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \) или \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( m \in \mathbb{Z} \).

б) Корни, принадлежащие промежутку \( ( -\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{6} ) \):

Проверим корни первого случая: \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

• При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{5\pi}{2} \). Этот корень входит в интервал.
• При \( n = -2 \): \( x = -\frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{9\pi}{2} \). Этот корень не входит в интервал.

Проверим корни второго случая: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \).

• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{23\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.

Проверим корни второго случая: \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \).

• При \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6} \). Этот корень входит в интервал.
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{19\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.

Проверим корни второго случая: \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi m \).

• При \( m = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.
• При \( m = -2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{25\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.

Проверим корни второго случая: \( x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m \).

• При \( m = -1 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{17\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.
• При \( m = -2 \): \( x = -\frac{5\pi}{6} - 4\pi = -\frac{29\pi}{6} \). Этот корень не входит в интервал.

Ответ: а) \( x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \); \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \); \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \), где \( n, k, m \in \mathbb{Z} \). б) \( -\frac{5\pi}{2}; -\frac{7\pi}{6} \).