15. Первообразная и интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Решение задач на применение интеграла для вычисления площадей. Найдите площади фигуры, ограниченной линиями. 1. y = 0, y = 2x, y = 3 - x², x ≥ 0 2. y = x², y = 4x - 3 3. y = x⁵, x² - 6x + 5 = 0, y = 0 4. y = 5/x, x² - 8x + 7 = 0 5. y = x, y = 2 − x², y = 0,x ≥ 0

Решение:

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями y=0, y=2x, y=3-x², x≥0

Найдём точки пересечения:

1. \( y = 2x \) и \( y = 3 - x^2 \):
   \( 2x = 3 - x^2 \implies x^2 + 2x - 3 = 0 \)
   \( (x+3)(x-1) = 0 \)
   Так как \( x \ge 0 \), то \( x = 1 \). Точка пересечения: (1, 2).
2. \( y = 2x \) и \( y = 0 \):
   \( 2x = 0 \implies x = 0 \). Точка пересечения: (0, 0).
3. \( y = 3 - x^2 \) и \( y = 0 \):
   \( 3 - x^2 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \) (так как \( x \ge 0 \)). Точка пересечения: (\(\sqrt{3}\), 0).

Заметим, что область разбивается на две части:

1. От \( x=0 \) до \( x=1 \): верхняя граница \( y=2x \), нижняя \( y=0 \).
2. От \( x=1 \) до \( x=\sqrt{3} \): верхняя граница \( y=3-x^2 \), нижняя \( y=0 \).

Вычислим площадь как сумму интегралов:

$$ S = \int_{0}^{1} 2x dx + \int_{1}^{\sqrt{3}} (3-x^2) dx $$ $$ S = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} + \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{3}} $$ $$ S = (1^2 - 0^2) + \left( 3\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} \right) - \left( 3(1) - \frac{1^3}{3} \right) $$ $$ S = 1 + \left( 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} \right) - \left( 3 - \frac{1}{3} \right) $$ $$ S = 1 + (3\sqrt{3} - \sqrt{3}) - \frac{8}{3} = 1 + 2\sqrt{3} - \frac{8}{3} = \frac{3 + 6\sqrt{3} - 8}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 5}{3} $$

Ответ: \(\frac{6\sqrt{3}-5}{3}\)

2. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x², y = 4x - 3

Найдём точки пересечения:

\( x^2 = 4x - 3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \)

\( (x-1)(x-3) = 0 \implies x = 1, x = 3 \).

Вычислим площадь как интеграл разности функций:

$$ S = \int_{1}^{3} ((4x-3) - x^2) dx $$ $$ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx $$ $$ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x \right]_{1}^{3} $$ $$ S = \left( -\frac{3^3}{3} + 2(3^2) - 3(3) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 2(1^2) - 3(1) \right) $$ $$ S = (-9 + 18 - 9) - \left( -\frac{1}{3} + 2 - 3 \right) $$ $$ S = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3} $$

Ответ: \(\frac{4}{3}\)

3. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x⁵, x² - 6x + 5 = 0, y = 0

Сначала разберём уравнение x² - 6x + 5 = 0:

\( (x-1)(x-5) = 0 \implies x = 1, x = 5 \).

Это означает, что фигура ограничена прямыми \( x=1 \) и \( x=5 \), осью \( y=0 \) и кривой \( y=x^5 \).

Вычислим площадь как интеграл:

$$ S = \int_{1}^{5} x^5 dx $$ $$ S = \left[ \frac{x^6}{6} \right]_{1}^{5} $$ $$ S = \frac{5^6}{6} - \frac{1^6}{6} = \frac{15625 - 1}{6} = \frac{15624}{6} = 2604 $$

Ответ: 2604

4. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 5/x, x² - 8x + 7 = 0

Сначала разберём уравнение x² - 8x + 7 = 0:

\( (x-1)(x-7) = 0 \implies x = 1, x = 7 \).

Фигура ограничена прямыми \( x=1 \) и \( x=7 \) и кривой \( y=5/x \).

Вычислим площадь как интеграл:

$$ S = \int_{1}^{7} \frac{5}{x} dx $$ $$ S = 5 \left[ \ln|x| \right]_{1}^{7} $$ $$ S = 5 (\ln 7 - \ln 1) = 5 \ln 7 $$

Ответ: \(5 \ln 7\)

5. Площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 2 − x², y = 0, x ≥ 0

Найдём точки пересечения:

1. \( y = x \) и \( y = 2 - x^2 \):
   \( x = 2 - x^2 \implies x^2 + x - 2 = 0 \)
   \( (x+2)(x-1) = 0 \)
   Так как \( x \ge 0 \), то \( x = 1 \). Точка пересечения: (1, 1).
2. \( y = x \) и \( y = 0 \): \( x = 0 \). Точка пересечения: (0, 0).
3. \( y = 2 - x^2 \) и \( y = 0 \):
   \( 2 - x^2 = 0 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2} \) (так как \( x \ge 0 \)). Точка пересечения: (\(\sqrt{2}\), 0).

Область разбивается на две части:

1. От \( x=0 \) до \( x=1 \): верхняя граница \( y=x \), нижняя \( y=0 \).
2. От \( x=1 \) до \( x=\sqrt{2} \): верхняя граница \( y=2-x^2 \), нижняя \( y=0 \).

Вычислим площадь как сумму интегралов:

$$ S = \int_{0}^{1} x dx + \int_{1}^{\sqrt{2}} (2-x^2) dx $$ $$ S = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} + \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{2}} $$ $$ S = \left( \frac{1^2}{2} - 0 \right) + \left( 2\sqrt{2} - \frac{(\sqrt{2})^3}{3} \right) - \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} \right) $$ $$ S = \frac{1}{2} + \left( 2\sqrt{2} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} \right) $$ $$ S = \frac{1}{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3} - \frac{5}{3} = \frac{3 + 8\sqrt{2} - 10}{6} = \frac{8\sqrt{2} - 7}{6} $$

Ответ: \(\frac{8\sqrt{2}-7}{6}\)