14. Производная и ее применение. Правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций, применение для дифференцирования функций, исследование функции с помощью производной. 1. Найдите производную функции: φ(x) = x⁵ + 4√x 2. Найдите производную функции:φ(x) = 2x⁷ – sin 2x 3. Найдите производную функции: φ(x) = 2³ˣ – 5x 4. Найдите производную функции: φ(x) = 1/2 eˣ + 2 / (8x - 1) + 6 5. Найдите производную функции:φ(x) = 3tg5x + x² 6. Найдите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума функции f(x) = 2x³ - 3x² - 36x 7. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x) = x + 4/x 8. Найдите промежутки убывания функции f(x) = x³ - 6x² - 15x + 7 9. Найдите промежутки монотонности функции f(x) = x + 4/x 10. Найдите промежутки возрастания функции φ(x) = 48x - x³

Решение:

Нахождение производных:

1. \( \varphi(x) = x^5 + 4\sqrt{x} \)
   \( \varphi'(x) = (x^5)' + (4x^{1/2})' = 5x^4 + 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 5x^4 + \frac{2}{\sqrt{x}} \)
2. \( \varphi(x) = 2x^7 - \sin 2x \)
   \( \varphi'(x) = (2x^7)' - (\sin 2x)' = 14x^6 - (\cos 2x \cdot 2) = 14x^6 - 2\cos 2x \)
3. \( \varphi(x) = 2^{3x} - 5x \)
   \( \varphi'(x) = (2^{3x})' - (5x)' = 2^{3x} \ln 2 \cdot 3 - 5 = 3 \ln 2 \cdot 2^{3x} - 5 \)
4. \( \varphi(x) = \frac{1}{2} e^x + \frac{2}{8x-1} + 6 \)
   \( \varphi'(x) = (\frac{1}{2} e^x)' + (2(8x-1)^{-1})' + 6' = \frac{1}{2} e^x + 2 \cdot (-1)(8x-1)^{-2} \cdot 8 + 0 = \frac{1}{2} e^x - \frac{16}{(8x-1)^2} \)
5. \( \varphi(x) = 3 g 5x + x^2 \)
   \( \varphi'(x) = (3 g 5x)' + (x^2)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2 5x} \cdot 5 + 2x = \frac{15}{\cos^2 5x} + 2x \)

Исследование функций:

6. \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 36x \)
   \( f'(x) = 6x^2 - 6x - 36 = 6(x^2 - x - 6) \)
   \( x^2 - x - 6 = 0 \implies (x-3)(x+2) = 0 \implies x=3, x=-2 \)
   Промежутки возрастания: \( (-\infty, -2] \cup [3, +\infty) \)
   Промежутки убывания: \( [-2, 3] \)
   Точки экстремума: \( x_{min} = 3 \) (минимум), \( x_{max} = -2 \) (максимум)
7. \( f(x) = x + \frac{4}{x} \)
   \( f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2-4}{x^2} \)
   \( x^2 - 4 = 0 \implies (x-2)(x+2) = 0 \implies x=2, x=-2 \)
   Промежутки монотонности:
   Возрастания: \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)
   Убывания: \( [-2, 0) \cup (0, 2] \)
   Точки экстремума: \( x_{min} = 2 \) (минимум), \( x_{max} = -2 \) (максимум)
8. \( f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7 \)
   \( f'(x) = 3x^2 - 12x - 15 = 3(x^2 - 4x - 5) \)
   \( x^2 - 4x - 5 = 0 \implies (x-5)(x+1) = 0 \implies x=5, x=-1 \)
   Промежутки убывания: \( [-1, 5] \)
9. \( f(x) = x + \frac{4}{x} \) (Та же функция, что и в пункте 7. Здесь просто повтор вопроса.)
   \( f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} \)
   Промежутки монотонности:
   Возрастания: \( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) \)
   Убывания: \( [-2, 0) \cup (0, 2] \)
10. \( \varphi(x) = 48x - x^3 \)
    \( \varphi'(x) = 48 - 3x^2 = 3(16 - x^2) \)
    \( 16 - x^2 = 0 \implies (4-x)(4+x) = 0 \implies x=4, x=-4 \)
    Промежутки возрастания: \( [-4, 4] \)