15. Отрезки MK и PE равны (рис. 193). Докажите, что если PK = EN, то точка K — середина отрезка MN.

Точки расположены в порядке \(M,P,K,E,N\). Обозначим \(MK=PE=a\), а \(PK=EN=b\).

Так как \(MK=MP+PK\), то \(MP=a-b\). Также \(PE=PK+KE\), поэтому \(KE=a-b\).

Тогда \(MK=PE\) и \(PK=EN\) дают:

\(KN=KE+EN=(a-b)+b=a=MK\).

Следовательно, \(MK=KN\). Точка K равноудалена от концов отрезка MN и лежит между ними, значит, K — середина отрезка MN.

Что и требовалось доказать.