15. Даны векторы: $\vec a=(1;0;1)$, $\vec b=(−2;3;5)$. Требуется: 1) проверить, коллинеарные ли векторы $\vec c=\vec a+2\vec b$ и $\vec d=3\vec a−\vec b$; 2) определить, при каком значении $m$ вектор $\vec b$ будет перпендикулярен вектору $\vec p=(−2;2+m;−7)$; 3) вычислить $\vec a(\vec a−2\vec b)$; 4) найти длину $|2\vec a−\vec b|$.

Question

$Фото задания: 15. Даны векторы: $\vec a=(1;0;1)$, $\vec b=(−2;3;5)$. Требуется: 1) проверить, коллинеарные ли векторы \(\vec c=\vec…$ Фото задания

Accepted Answer

$\vec c=(1,0,1)+2(-2,3,5)=(-3,6,11)$, $\vec d=3(1,0,1)-(-2,3,5)=(5,-3,-2)$. Отношения соответствующих координат не одинаковы, поэтому векторы неколлинеарны.
\[\vec b\cdot\vec p=(-2)(-2)+3(2+m)+5(-7)=0.\] \[4+6+3m-35=0\Rightarrow 3m=25\Rightarrow m=\frac{25}{3}.\]
$\vec a-2\vec b=(1,0,1)-(-4,6,10)=(5,-6,-9)$, поэтому \[\vec a\cdot(\vec a-2\vec b)=1\cdot5+0\cdot(-6)+1\cdot(-9)=-4.\]
$2\vec a-\vec b=(2,0,2)-(-2,3,5)=(4,-3,-3)$, следовательно, \[|2\vec a-\vec b|=\sqrt{16+9+9}=\sqrt{34}.\]

Ответ: 1) неколлинеарны; 2) $m=\frac{25}{3}$; 3) $-4$; 4) $\sqrt{34}$.