14. Даны векторы: \(\vec a=(1;−2;3)\), \(\vec b=(3;0;−1)\). Требуется: 1) проверить, коллинеарные ли векторы \(\vec c=2\vec a+4\vec b\) и \(\vec d=3\vec b−\vec a\); 2) определить, при каком значении \(m\) вектор \(\vec a\) будет перпендикулярен вектору \(\vec p=(−2;2+m;1)\); 3) вычислить \(\vec a(\vec a+\vec b)\); 4) найти длину \(|\vec a+3\vec b|\).

1. \(\vec c=2(1,-2,3)+4(3,0,-1)=(14,-4,2)\), \(\vec d=3(3,0,-1)-(1,-2,3)=(8,2,-6)\). Отношения координат не равны, поэтому векторы неколлинеарны.
2. Условие перпендикулярности: \(\vec a\cdot\vec p=0\). \[1\cdot(-2)+(-2)(2+m)+3\cdot1=0\Rightarrow -3-2m=0\Rightarrow m=-\frac32.\]
3. \(\vec a+\vec b=(4,-2,2)\), поэтому \[\vec a\cdot(\vec a+\vec b)=1\cdot4+(-2)(-2)+3\cdot2=14.\]
4. \(\vec a+3\vec b=(1,-2,3)+(9,0,-3)=(10,-2,0)\), следовательно, \[|\vec a+3\vec b|=\sqrt{100+4}=2\sqrt{26}.\]

Ответ: 1) неколлинеарны; 2) \(m=-\frac32\); 3) \(14\); 4) \(2\sqrt{26}\).