14. В амфитеатре 10 рядов. В первом ряду 14 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Решение:

Эта задача описывает арифметическую прогрессию, где:

• Первый член (количество мест в первом ряду): \( a_1 = 14 \)
• Разность прогрессии (увеличение мест в каждом следующем ряду): \( d = 3 \)
• Количество членов (рядов): \( n = 10 \)

Нам нужно найти сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, то есть общее количество мест в амфитеатре.

Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Сначала найдём количество мест в последнем, 10-м ряду:

\[ a_{10} = 14 + (10-1) \cdot 3 = 14 + 9 \cdot 3 = 14 + 27 = 41 \]

Теперь найдём сумму первых 10 членов по формуле:

\[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \]

Подставим известные значения:

\[ S_{10} = \frac{14 + 41}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = \frac{55}{2} \cdot 10 \]\[ S_{10} = 55 \cdot 5 \]\[ S_{10} = 275 \]

Ответ: 275 мест.