14 Шарик для настольного тенниса после удара о ракетку подскочил вертикально вверх, а тем отскочил уже от земли на высоту 180 см. После каждого следующего отскока от земли шарик оказывался на высоте в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока от земли шарик подскочит на высоту, меньше 10 см?

Обозначим высоту первого отскока от земли как \(h_1\). По условию, \(h_1 = 180\) см.

После каждого следующего отскока высота уменьшается в 3 раза. Это означает, что высоты отскоков образуют геометрическую прогрессию с первым членом \(h_1 = 180\) и знаменателем \(q = \frac{1}{3}\).

Формула для n-го члена геометрической прогрессии:

\[ h_n = h_1  q^{n-1} \]

где \(h_n\) – высота n-го отскока, \(h_1\) – высота первого отскока, \(q\) – знаменатель прогрессии, \(n\) – номер отскока.

Нам нужно найти такой номер отскока \(n\), после которого высота будет меньше 10 см. То есть, \(h_n < 10\).

\[ 180  \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < 10 \]

Решим это неравенство:

1. Разделим обе части неравенства на 180:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{10}{180} \]

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{18} \]

2. Представим \(rac{1}{18}\) в виде степени с основанием \(rac{1}{3}\). Для этого нужно найти, какая степень тройки равна 18.

\(3^2 = 9\), \(3^3 = 27\).

Так как \(3^2 < 18 < 3^3\), то \(rac{1}{3^2} > rac{1}{18} > rac{1}{3^3}\), то есть \(rac{1}{9} > rac{1}{18} > rac{1}{27}\).

Следовательно, \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 > rac{1}{18} > \left(\frac{1}{3}\right)^3\).

Или, в виде степеней с основанием 3:

\[ 3^{-2} > rac{1}{18} > 3^{-3} \]

Вернемся к неравенству:

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} < \frac{1}{18} \]

Это эквивалентно:

\[ 3^{-(n-1)} < rac{1}{18} \]

Так как \(rac{1}{18}\) находится между \(3^{-2}\) и \(3^{-3}\), нам нужно, чтобы степень \(-(n-1))\) была меньше, чем \(-2\) (чтобы само число стало меньше \(rac{1}{18}\) при отрицательном показателе степени).

Проанализируем степени:

• Если \(n=1\), высота = 180.
• Если \(n=2\), высота = \(180  \frac{1}{3} = 60\).
• Если \(n=3\), высота = \(60  \frac{1}{3} = 20\).
• Если \(n=4\), высота = \(20  \frac{1}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.67\).

Видим, что после 4-го отскока высота становится меньше 10 см.

Проверим по неравенству: \(3^{-(n-1)} < rac{1}{18}\). Если \(n=4\), то \(n-1=3\), и \(3^{-3} = rac{1}{27}\). \(rac{1}{27} < rac{1}{18}\) - это верно.

Если \(n=3\), то \(n-1=2\), и \(3^{-2} = rac{1}{9}\). \(rac{1}{9} < rac{1}{18}\) - это неверно.

Таким образом, нам нужен 4-й отскок.

Ответ: 4