14. Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?

Пусть младшей дочери было 5 лет. Тогда возраста дочерей: 5, 7, 9, 11 и 13 лет.

За один год число подаренных книг увеличивается на 5: по одной книге за каждый год возраста каждой из пяти дочерей. В первый год, когда младшей исполнилось 5 лет, подарили всего 45 книг: 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45.

Через n лет общее число книг составит сумму арифметической прогрессии: S = 45 + 50 + 55 + … + (45 + 5(n − 1)) = 495.

Используем формулу суммы: S = n(90 + 5(n − 1))/2. Отсюда n(85 + 5n)/2 = 495, то есть n(n + 17) = 198. Получаем n = 9.

К этому моменту старшей дочери было 13 + 9 − 1 = 21 год: первый подарок был в её 13 лет.

Ответ: 21 год.