13 Тип 13 № 765 В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссек- трисой BD.

Решение:

В треугольнике ABC: \( \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle C = 60^{\circ} \).

1. Найдем \( \angle B \) в треугольнике ABC: \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} \).
2. BD — биссектриса угла B. Она делит угол B пополам: \( \angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{80^{\circ}}{2} = 40^{\circ} \).
3. BH — высота, проведенная к стороне AC. Треугольник ABH — прямоугольный, так как \( \angle BHA = 90^{\circ} \).
4. В прямоугольном треугольнике ABH: \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
5. Найдем угол между высотой BH и биссектрисой BD. Этот угол равен разности углов \( \angle ABD \) и \( \angle ABH \), так как биссектриса BD лежит внутри угла ABH.
6. \( \angle DBH = \angle ABD - \angle ABH = 50^{\circ} - 40^{\circ} = 10^{\circ} \).

Ответ: \( 10^{\circ} \).