128. а) ABCD — прямоугольник. MB ⊥ (ABC), MA=13, MD=20, MC=16. Найдите MB.

Решение:

По условию MB ⊥ (ABC). Это значит, что MB перпендикулярна любым прямым, лежащим в плоскости ABC. Следовательно, MB ⊥ AB и MB ⊥ BC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники:

1. △MAB: \( MA^2 = MB^2 + AB^2 \)
2. △MBC: \( MC^2 = MB^2 + BC^2 \)
3. △MBD: \( MD^2 = MB^2 + BD^2 \)

Так как ABCD — прямоугольник, то диагонали равны: AC = BD.

Из прямоугольного △ABC: \( BD^2 = AB^2 + BC^2 \).

Подставим значения:

\( 13^2 = MB^2 + AB^2 \)

\( 16^2 = MB^2 + BC^2 \)

\( 20^2 = MB^2 + BD^2 = MB^2 + AB^2 + BC^2 \)

Из первых двух уравнений:

\( AB^2 = 169 - MB^2 \)

\( BC^2 = 256 - MB^2 \)

Подставим в третье уравнение:

\( 400 = MB^2 + (169 - MB^2) + (256 - MB^2) \)

\( 400 = MB^2 + 169 - MB^2 + 256 - MB^2 \)

\( 400 = 425 - MB^2 \)

\( MB^2 = 425 - 400 = 25 \)

\( MB = √{25} = 5 \)

Ответ: MB = 5 см.