Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Дано:
- ∆ABC и ∆A₁B₁C₁
- BM = B₁M₁ (медианы)
- AB = A₁B₁
- AM = A₁M₁
Доказать:
- ∆ABC = ∆A₁B₁C₁
Доказательство:
1. Равенство треугольников ∆ABM и ∆A₁B₁M₁:
- По условию, AB = A₁B₁ (стороны).
- По условию, AM = A₁M₁ (половины сторон AC и A₁C₁, так как BM и B₁M₁ — медианы).
- По условию, BM = B₁M₁ (стороны).
- Таким образом, ∆ABM = ∆A₁B₁M₁ по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).
2. Равенство углов ∠AMB и ∠A₁M₁B₁:
Из равенства треугольников ∆ABM и ∆A₁B₁M₁ следует, что их соответствующие углы равны. Следовательно, ∠AMB = ∠A₁M₁B₁.
3. Равенство углов ∠BMC и ∠B₁M₁C₁:
Углы ∠AMB и ∠BMC — смежные, поэтому ∠BMC = 180° - ∠AMB.
Углы ∠A₁M₁B₁ и ∠B₁M₁C₁ — смежные, поэтому ∠B₁M₁C₁ = 180° - ∠A₁M₁B₁.
Так как ∠AMB = ∠A₁M₁B₁, то 180° - ∠AMB = 180° - ∠A₁M₁B₁, следовательно, ∠BMC = ∠B₁M₁C₁.
4. Равенство треугольников ∆BMC и ∆B₁M₁C₁:
- По условию, BM = B₁M₁ (стороны).
- По условию, MC = M₁C₁ (так как AM = A₁M₁, а M и M₁ — середины сторон AC и A₁C₁, то MC = AC/2 и M₁C₁ = A₁C₁/2. Изначально, если AC=A₁C₁, то MC=M₁C₁. Если AM=A₁M₁ и M, M₁ середины, то AC = 2AM и A₁C₁ = 2A₁M₁. Следовательно, AC = A₁C₁).
- Угол ∠BMC = ∠B₁M₁C₁ (доказано выше).
- Таким образом, ∆BMC = ∆B₁M₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников).
5. Равенство сторон AC и A₁C₁:
Из равенства ∆ABM = ∆A₁B₁M₁ следует, что AM = A₁M₁. Так как BM и B₁M₁ — медианы, то AC = 2 * AM и A₁C₁ = 2 * A₁M₁. Следовательно, AC = A₁C₁.
6. Равенство треугольников ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
- По условию, AB = A₁B₁ (стороны).
- По условию, AC = A₁C₁ (доказано выше).
- Угол ∠BAC = ∠B₁A₁C₁ (так как ∆ABM = ∆A₁B₁M₁).
- Таким образом, ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников).
Альтернативное доказательство:
Из равенства ∆ABM = ∆A₁B₁M₁ (по трем сторонам) следует, что ∠BAM = ∠B₁A₁M₁, т.е. ∠BAC = ∠B₁A₁C₁.
Из равенства ∆BMC = ∆B₁M₁C₁ (по трем сторонам, т.к. MC = M₁C₁ как половины равных сторон AC и A₁C₁) следует, что ∠BCM = ∠B₁C₁M₁, т.е. ∠BCA = ∠B₁C₁A₁.
Теперь, имея равенство двух углов и стороны между ними (AB = A₁B₁), мы можем доказать равенство треугольников ∆ABC и ∆A₁B₁C₁ по второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол).
Ответ: Доказано.
