11. В ∆АВС AB = BC, BE – медиана треугольника ABC, Угол ABE = 41°. Найдите углы ABC и CEB.

Решение:

1. Анализ условия:

• ∆ABC — равнобедренный (AB = BC), значит, углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
• BE — медиана. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является биссектрисой и высотой. Поэтому BE ⊥ AC, и ∠AEB = 90°.
• ∠ABE = 41°.

2. Нахождение угла ABC:

Так как BE — биссектриса угла ABC, то ∠ABC = 2 * ∠ABE.

∠ABC = 2 * 41° = 82°.

3. Нахождение угла CEB:

В прямоугольном треугольнике ∆AEB (так как BE ⊥ AC), сумма углов равна 180°. Мы знаем ∠ABE = 41° и ∠AEB = 90°.

∠BAE = 180° - 90° - 41° = 49°.

Так как ∠BAC = ∠BAE, то ∠BAC = 49°.

В равнобедренном треугольнике ABC, ∠BCA = ∠BAC = 49°.

Рассмотрим треугольник ∆CEB. Сумма углов в ∆CEB равна 180°.

∠CEB = 180° - ∠EBC - ∠ECB.

Нам нужно найти ∠EBC. Так как BE — биссектриса, то ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC. Но BE - это медиана, и в равнобедренном треугольнике она является биссектрисой. Поэтому ∠ABE = ∠EBC. Следовательно, ∠EBC = 41°.

∠ECB = ∠BCA = 49°.

∠CEB = 180° - 41° - 49° = 180° - 90° = 90°.

Альтернативное решение для ∠CEB:

В равнобедренном треугольнике ABC, медиана BE к основанию AC является также высотой, то есть BE ⊥ AC. Следовательно, ∠BEA = 90° и ∠BEC = 90°.

4. Нахождение угла CEB (с учётом того, что BE — медиана к основанию равнобедренного треугольника):

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой. Значит, BE ⊥ AC, и ∠CEB = 90°.

Ответ: ∠ABC = 82°, ∠CEB = 90°.