12. Найдите значение числового выражения $$\sqrt[6]{21-12\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{21+12\sqrt{3}}$$ :

Решение:

Используем свойство корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \).

\( \sqrt[6]{21-12\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{21+12\sqrt{3}} = \sqrt[6]{(21-12\sqrt{3})(21+12\sqrt{3})} \)

Воспользуемся формулой разности квадратов \( (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \).

\[ \sqrt[6]{21^2 - (12\sqrt{3})^2} = \sqrt[6]{441 - 144 \cdot 3} = \sqrt[6]{441 - 432} = \sqrt[6]{9} \]

Теперь упростим \( \sqrt[6]{9} \).

\[ \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{3^2} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{3} \]

Ответ: \( \sqrt[3]{3} \).