12. На сторонах угла с вершиной О отложены равные отрезки ОА = ОВ. На этих же сторонах отложены равные отрезки ОС = OD (точки С и D лежат на лучах ОА и ОВ соответственно, причем С между О и А, D между О и В). Отрезки AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что ΔACE = ΔBDE.

Дано:

Угол с вершиной О.

\( OA = OB \), \( OC = OD \).

С лежит на ОА, D лежит на ОВ.

AD ∩ BC = E.

Доказать:

\( \triangle ACE = \triangle BDE \).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники OAD и OBC.

У них \( OA = OB \) (по условию), \( OD = OC \) (по условию), \( \angle AOD = \angle BOC \) (общий угол).

По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle OAD = \triangle OBC \).

Следовательно, \( AD = BC \).

2. Рассмотрим треугольники AEC и BED.

У них \( AC = OA - OC \) и \( BD = OB - OD \).

Так как \( OA = OB \) и \( OC = OD \), то \( OA - OC = OB - OD \), следовательно, \( AC = BD \).

Из п. 1 мы знаем, что \( AD = BC \).

\( \angle CAE = \angle DAB \) и \( \angle DBE = \angle CBA \). Поскольку \( \triangle OAD = \triangle OBC \), то \( \angle OAD = \angle OBC \) и \( \angle ODA = \angle OCB \).

3. Докажем равенство треугольников AEC и BED.

У них:

• \( AC = BD \) (доказано выше).
• \( \angle CAE = \angle DBE \) (т.к. \( \angle OAD = \angle OBC \)).
• \( ∠AEC = ∠BED \) (вертикальные углы).

По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle AEC = \triangle BED \).

Что и требовалось доказать.