11. В прямоугольном треугольнике АВС (∠C = 90°) проведена медиана СМ к гипотенузе АВ. Найдите угол ВСМ, если ∠A = 35°.

Дано:

Треугольник АВС, \( \angle C = 90^{\circ} \).

СМ - медиана к гипотенузе АВ.

\( \angle A = 35^{\circ} \).

Найти:

\( \angle BCM \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике АВС найдем угол В.

Сумма углов треугольника равна 180°.

\( \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \)

\( 35^{\circ} + \angle B + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)

\( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ} \).

2. Свойства медианы, проведенной к гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, \( AM = BM = CM \).

3. Рассмотрим треугольник ВCM.

Так как \( BM = CM \), то треугольник ВCM - равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит \( \angle CBM = \angle BCM \).

\( \angle CBM = \angle B = 55^{\circ} \).

Следовательно, \( \angle BCM = 55^{\circ} \).

Ответ: 55°.