12. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС=9 и ВС=6. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки В к этой окружности.

Решение:

В этой задаче мы будем использовать свойство касательной к окружности и теорему Пифагора.

• Окружность имеет центр в точке A и проходит через точку C. Это означает, что AC является радиусом этой окружности.
• Длина радиуса AC = 9 см.
• Отрезок AB состоит из AC и CB. Длина AB = AC + CB = 9 + 6 = 15 см.
• Проведем отрезок от центра окружности A к точке касания B (назовем эту точку касательной BD, чтобы не путать с отрезком AB). Так как BD является касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания. В данном случае, если точка касания будет на отрезке AB, то это будет некорректно. По условию, точка B, из которой проведена касательная, находится вне окружности.
• Пусть точка касания будет D. Тогда отрезок AD — радиус окружности, AD = 9 см.
• Отрезок BD — касательная к окружности.
• Треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом в точке D (так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной).
• Мы знаем длину AB (секущей) = 15 см и длину радиуса AD = 9 см.
• По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABD: \( AD^2 + BD^2 = AB^2 \)
• \( 9^2 + BD^2 = 15^2 \)
• \( 81 + BD^2 = 225 \)
• \( BD^2 = 225 - 81 \)
• \( BD^2 = 144 \)
• \( BD = \sqrt{144} \)
• \( BD = 12 \) см.

Финальный ответ:

Ответ: 12 см