№ 12. Given: ∠ABC = 112°. Find: ∠CAD = ?

Решение:

Угол ∠ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу ADC.

Величина дуги ADC равна 2 * ∠ABC = 2 * 112° = 224°.

Угол ∠CAD — вписанный угол, опирающийся на дугу CD.

Дуга CAD = Дуга CA + Дуга CD.

Дуга CD = Дуга ADC - Дуга AC.

Угол ∠ABC = 112° опирается на дугу ADC. Угол ∠AOC — центральный, опирается на дугу AC.

Угол ∠AOC (меньший) = 2 * ∠ABC (если бы он опирался на меньшую дугу AC). Но ∠ABC опирается на большую дугу.

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Однако, здесь нам дана большая дуга.

Пусть O - центр окружности.

Угол ∠AOC (развернутый) = 180° (если AC - диаметр).

Угол ∠ABC = 112° является вписанным и опирается на дугу ADC. Значит, величина дуги ADC = 2 * 112° = 224°.

Вся окружность = 360°.

Величина дуги ABC = 360° - 224° = 136°.

Угол ∠ADC — вписанный, опирается на дугу ABC. ∠ADC = 136° / 2 = 68°.

Угол ∠CAD — вписанный, опирается на дугу CD.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике 180°. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

Это не помогает нам найти ∠CAD напрямую.

Вернемся к дугам.

Дуга ADC = 224°.

Угол ∠AOC (центральный, больший) = 224°.

Угол ∠AOC (меньший) = 360° - 224° = 136°.

Угол ∠ABC = 112°.

Угол ∠CAD — нам нужно найти. Он опирается на дугу CD.

Угол ∠CBD — вписанный, опирается на дугу CD. Значит, ∠CAD = ∠CBD.

Похоже, что не хватает информации, чтобы найти ∠CAD. Однако, если предположить, что ABCD - вписанный четырехугольник, то ∠ADC = 180° - ∠ABC = 180° - 112° = 68°.

В треугольнике ADC: ∠ACD + ∠CAD + ∠ADC = 180°.

∠ACD опирается на дугу AD.

Что мы знаем про дугу AD?

Мы знаем, что дуга ADC = 224°.

Мы знаем, что меньшая дуга AC = 136°.

Вписанный угол ∠ABC = 112° опирается на дугу ADC.

Рассмотрим дугу CD. Угол ∠CAD опирается на дугу CD.

Угол ∠CBD опирается на дугу CD.

Угол ∠CAD = ∠CBD.

Необходимо найти величину дуги CD.

Мы знаем, что угол ∠ABC = 112°. Это вписанный угол.

Угол ∠AOC (центральный, тупой) = 360° - (2 * 112°) = 360° - 224° = 136°.

Это меньший угол AOC, который опирается на дугу AC.

Значит, дуга AC = 136°.

Дуга ADC = 224°.

Дуга CD = Дуга ADC - Дуга AC = 224° - 136° = 88°.

Угол ∠CAD — вписанный, опирается на дугу CD.

∠CAD = Дуга CD / 2

∠CAD = 88° / 2 = 44°

Ответ: 44°