1113. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, соответственно равны h_b и h_c; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины B, равна h.

а) Обозначим стороны \(AC=b\), \(AB=c\). Высоты выражаются так:

\[h_b=c\sin\alpha,\qquad h_c=b\sin\alpha.\]

Отсюда:

\[c=\frac{h_b}{\sin\alpha},\qquad b=\frac{h_c}{\sin\alpha}.\]

Площадь треугольника:

\[S=\frac12bc\sin\alpha=\frac12\cdot\frac{h_c}{\sin\alpha}\cdot\frac{h_b}{\sin\alpha}\cdot\sin\alpha.\]

Следовательно,

\[S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}.\]

б) Основание \(AC\) состоит из двух отрезков. Для них:

\[AH=h\cot\alpha,\qquad HC=h\cot\beta.\]

Поэтому:

\[AC=h(\cot\alpha+\cot\beta).\]

Так как площадь равна \(\frac12\cdot AC\cdot h\), получаем:

\[S=\frac{h^2}{2}(\cot\alpha+\cot\beta).\]

Эквивалентная форма ответа:

\[S=\frac{h^2\sin(\alpha+\beta)}{2\sin\alpha\sin\beta}.\]

Ответ: а) \(S=\dfrac{h_bh_c}{2\sin\alpha}\); б) \(S=\dfrac{h^2}{2}(\cot\alpha+\cot\beta)\).