11 Вторник Тема: «Параллелограмм» 1. Сформулируй определение, свойства и признаки параллелограмма. 2. Реши задачи: а) Один из углов параллелограмма равен 32°. Найди остальные углы параллелограмма. б) В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что АО — медиана треугольника BAD, а BO — медиана треугольника ABC. Докажи, что ABCD — параллелограмм.

1. Определение, свойства и признаки параллелограмма:

Определение: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства:

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
• Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна 180°.

Признаки:

• Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если у четырёхугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.
• Если диагонали четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

2. Решение задач:

а) Один из углов параллелограмма равен 32°. Найди остальные углы параллелограмма.

Пусть дан параллелограмм ABCD, и \( \angle A = 32° \).

Так как сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:

\( \angle B = 180° - \angle A = 180° - 32° = 148° \).

В параллелограмме противоположные углы равны:

\( \angle C = \angle A = 32° \)

\( \angle D = \angle B = 148° \)

Ответ: Углы параллелограмма равны 32°, 148°, 32°, 148°.

б) В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Известно, что АО — медиана треугольника BAD, а BO — медиана треугольника ABC. Докажи, что ABCD — параллелограмм.

Дано: Четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. AO — медиана \( \triangle BAD \). BO — медиана \( \triangle ABC \).

Доказательство:

1. Поскольку AO — медиана \( \triangle BAD \), то точка O является серединой стороны BD.
2. Поскольку BO — медиана \( \triangle ABC \), то точка O является серединой стороны AC.
3. Таким образом, точка пересечения диагоналей AC и BD (точка O) является серединой обеих диагоналей.
4. Это свойство является одним из признаков параллелограмма.

Ответ: ABCD — параллелограмм, так как его диагонали пересекаются в точке О и делятся ею пополам.