Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В треугольнике ABC:
- BM — медиана.
- BH — высота.
- \( AC = 84 \)
- \( BC = BM \)
Так как BM — медиана, то M — середина AC. Следовательно, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{84}{2} = 42 \).
В треугольнике BCM:
- \( BC = BM \) (по условию)
Это означает, что треугольник BCM — равнобедренный. Углы при основании равны:
\( \angle BCM = \angle BMC \)
BH — высота, значит \( \angle BHC = 90° \). BH является также медианой и биссектрисой в равнобедренном треугольнике, но треугольник ABC не обязательно равнобедренный.
Рассмотрим треугольник BHC:
\( \angle BCH = \angle BCM \)
\( \angle HBC \)
\( \angle BHC = 90° \)
Рассмотрим треугольник BHM:
\( \angle BMH = \angle BMC \)
\( \angle MBH \)
\( \angle BHM = 90° \)
В равнобедренном треугольнике BCM, \( \angle BMC \) — внешний угол для треугольника ABM.
В прямоугольном треугольнике BHC:
\( CH = BC \cdot \cos(C) \)
\( BH = BC \cdot \sin(C) \)
В равнобедренном треугольнике BCM, \( \angle BMC = \angle MCB \). Так как \( \angle BMC \) — внешний угол для \( \triangle ABM \), то \( \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM \).
Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) — равнобедренный, значит \( \angle BCM = \angle BMC \). Пусть \( \angle BCM = \angle BMC = \alpha \).
Тогда \( \angle ABC = 180° - (\angle BAC + \angle BCA) \).
Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( \angle BHC = 90° \). \( \angle BCH = \alpha \). \( \angle HBC = 90° - \alpha \).
Рассмотрим \( \triangle BHM \). \( \angle BHM = 90° \). \( \angle BMH = \alpha \). \( \angle MBH = 90° - \alpha \).
\( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \) или \( \angle ABC = \angle ABH - \angle HBC \).
\( \angle ABM = \angle ABC - \angle HBC \).
Из \( \triangle BHM \), \( MH = BM \cdot \cos(\angle BMH) = BM \cdot \cos(\alpha) \).
Из \( \triangle BHC \), \( CH = BC \cdot \cos(\angle BCH) = BC \cdot \cos(\alpha) \).
Поскольку \( BC = BM \), то \( CH = MH \).
M — середина AC, \( MC = 42 \).
\( CH = MC - MH = 42 - MH \)
\( MH = 42 - MH \)
\( 2MH = 42 \)
\( MH = 21 \).
\( CH = MC - MH = 42 - 21 = 21 \).
\( AH = AM + MH = 42 + 21 = 63 \).
Ответ: 63.
